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1、第六章 近独立粒子的最概然分布,第二讲,6.3 系统微观运动状态的描述,限于讨论由全同的近独立子组成的系统,一. 系统微观运动状态的经典描述,全同粒子:,具有完全相同的固有属性（m,V,e,自旋等）的同种粒子,由全同粒子组成的系统称为全同粒子系统,设系统含N个全同粒子,每个粒子的自由度为r,定义系统的自由度f=Nr,经典力学认为粒子做轨道运动,因此粒子是可以分辨的.,要描述系统的微观态只需定出系统内每个粒子运动的状态,且交换,任意两个粒子的运动状态,系统的微观状态随之发生改变.,1.数学描述:,对单个粒子一个微观状态需(q1 , q2 , qr, p1 , p2 , , pr),对N个粒子组成
2、的系统的一个微观态(q1,q2,qNr , p1,p2,pNr ),即描述系统的微观运动状态需2f个变量,2 .空间描述:,粒子的一个运动状态对应空间中的一个点,因此某时刻,N个粒子的状态对应空间中的N个点,用空间中的N个点可以描述,系统的一个微观态.,且交换任意两个代表点系统的微观态将发生改变.,费米子遵从泡利不相容原理。,二、系统微观运动状态的量子描述,1、全同粒子的特性,不可分辨性:,由于波动性,粒子的运动不是轨道运动,运动轨迹不可跟踪,因此在各粒子固有属性相同时,粒子不可区分.,遵从全同性原理:,任意交换全同粒子系统中的两个粒子,系统的微观状态不变.,2. 全同粒子系统的分类,玻耳兹曼
3、系统:,粒子可分辨(可编号),每个量子态上的粒子数不受限制,费米系统:由费米子构成的系统,粒子不可分辨,且每个量子态上,玻色系统:,由玻色子构成的系统,粒子不可识别,每个量子态上的粒子数不受限制(如光子系统),最多只能容纳一个粒子(如电子, 质子, 中子系统),3. 系统微观状态的量子描述,对于不可分辨的粒子:,需指明每个粒子处于哪个量子态才能确定系统的微观态,对于不可分辨的粒子,只需指明每个量子态上的粒子数目即可确定系统的微观态,4. 系统微观态的量子描述举例,设一个系统只含2个粒子,每个粒子有3个可能的量子态,玻耳兹曼系统,量子态2,量子态1,量子态3,AB,AB,AB,A,B,A,B,B
4、,A,B,A,A,B,B,A,共9种微观状态,玻色系统,量子态2,量子态1,量子态3,量子态2,量子态1,量子态3,AA,AA,AA,A,A,A,A,A,A,共6种微观状态,费米系统,量子态2,量子态1,量子态3,A,A,A,A,A,A,共3种微观状态,可以看出:粒子可分辨的玻耳兹曼系统, 要确定系统的微观态,明确每一个粒子所处的量子态;,而粒子不可分辨的玻色系统和费米,系统, 要确定系统的微观态,只需确定每个量子态上有多少个粒子.,需要,6.5 分布和微观态,对于一个具有确定能量E和粒子数N的系统, 一个分布必须满足,一. 分布,系统由N个全同粒子组成,系统能量为E，体积为V,粒子可能的能级
5、,1，2，l，,相应能级的简并度,1 , 2 , l , ,各能级上的粒子数,a1 , a 2 , a l , ,分布:,系统中的粒子占据能级的一种方式称为系统的一个分布.,al,(6.5.1),二. 系统的一种分布对应的系统微观状态数目的计算,设分布为 a l ，具体如下,a1，a 2 , , a l , ,能 级,1 ，2 ，, l ，,简并度,粒子数,1， 2 , , l , ,先确定N个粒子的一个分组方式对应的系统的,1. 玻耳兹曼系统,确定玻耳兹曼系统一个分布对应的系统的微观状态数目时,采用以下方法:,微观态数目;,再确定出N个粒子按已定的分布al有多少种有效的,分组方式,两者的乘积
6、即为N个可分辨粒子按 al 分布时对应的系统,的总的微观状态的数目.,al 个可分辨的粒子占据能级l上的l个量子态时,由于每个量子态,上粒子数目不受限制,每个粒子可能的状态数为l个,al 个可分辨的,粒子占据l个量子态的方式有,其它能级都有类似的表达,N个粒子的一种分组方式对应的系统微观状态的数目为,分组方式:,先将N个粒子进行全排列(站队),N!种排列方式.,然后将任一排列按al切成一段一段的分到各个能级上去.,显然一种排列可得一个分组方式,但在N!个分组方式中,大部分对应着相同的分布.,例,重复倍数为,一个系统,含4个可分辨粒子,两个能级1，2，简并度分别为3,1,计算与分布1，3对应的系
7、统微观态数.,解:,4个粒子的全排列方式有4！=24种 ,号码1，2，3，4,1234，1243，1324，1342，1423，1432,1),2134，2143，2314，2341，2413，2431,2),3124，3142，3214，3241，3412，3421,3),4123，4132，4213，4231，4312，4321,4),以第一大组为例，看各种分组对应的系统微观态的情形,1234对应的微观态,2,2,2,1,234,234,234,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1243对应的微观态,1234，1243，1324，1342，1423，1432,1),2,2,2,1
8、,243,243,243,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1324对应的微观态,2,2,2,1,324,324,324,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1423对应的微观态,2,2,2,1,324,324,324,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,显然同一能级上的粒子交换顺序得到的多个分组方式对应的是,相同的系统微观态,因此它们相当于一种有效的分组形式.,重复的次数为1！3！=6,即6种相当于一种有效的分组形式.,类似的可知第二大组、第三大组、第四大组都各自等效于一种,分组方式,每个有效分组方式都对应系统的31 13个微观态，,且各不相同.,共有,=4 3,因
9、此玻耳兹曼系统的一个分布al对应的系统的微观状态数目为,(6.5.2),2. 玻色系统,粒子不可分辨,因此对应一个分布al,只有一种分组形式,由于每个量子态上的粒子数目不受限制，因此可采用如下方法：,将能级l上的l个量子态编上号,1,2,l,将其它(l 1)个量子态和al个粒子进行排列,一种排列表示一种占据方式，总的排列数为(l + al 1)!种,但量子态(l 1)互相交换以及al个粒子互相交换不产生新的占据方式,重复次数为,1,2,i,j,分布al对应的系统微观态个数为,只需确定分到每个能级上的al个粒子如何占据各个量子态即可.,(6.5.3),因此分配方式有,3. 费米系统,粒子不可分辨
10、，且粒子占据各量子态受泡利不相容原理的限制.,能级l上al个粒子占据l个量子态,相当于从l个量子态中选al个空位,提供给al个粒子.,分布 al 对应的系统微观状态个数为,(6.5.4),三. 非简并性条件,对于玻色系统和费米系统,则,经典极限条件或非简并性条件,各能级的粒子数远小于量子态数时, 由全同不可识别的粒子,含义:,因粒子数太少,粒子间距离较大,粒子的关联性只体现在,组成的系统中,四. 经典统计的系统分布和微观状态数,用经典方式描述粒子的运动状态,一个运动状态对应空间中一个点,且由于广义坐标和广义动量的取值是连续的,因此粒子的运动状态的,数目是无穷的.,相应地系统的微观状态数目也是无
11、穷的,为了象量子描述那样计算出经典系统的微观状态数目,将空间划分为等大的小间隔qipi=h0,对于自由度为r的粒子,空间内的各代表点对应的运动状态的能量值可能不相同,相当于量子描述中粒子占据不同的能级.,将相空间也划分为许多体积元.,为计算系统的微观状态数目,此体积元内各代表点的能量均为l ,划分原则:,能量相同的点划分在一起,对应的相体积用l(l=1,2, )表示,相当于此能量对应的简并度,N个粒子形成的分布可描述如下,体积元,能量,1, 2, , l, ,1 , 2 , , l，,“简并度”,粒子数,a1 , a2 , , al, ,由于粒子不可分辨,则分布对应的微观状态数目类似于玻耳兹曼系统,(6.5.8),
