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1、第四章 二阶矩理论及应用,水准：半经验半概率法，也就是对影响结构可靠度的某些参数进行数理统计分析，并与经验相结合，然后引入某些经验系数，不能对结构可靠度作出定量估计。 水准：又称一次二阶矩法，或称近似概率法，他采用概率论的方法对结构可靠度进行计算，不过不是采用精确的计算方法，而是采用近似的方法计算结构的可靠度。,4-1 概述,水准：又称全概率法，是完全基于概率论的结构可靠度精确分析方法。 二阶矩理论近年来已得到广泛应用与发展，属于水准的近似概率方法。它将结构的抗力R和载荷效应S作为随机变量，近似计算可靠度和可靠性指标。 最常用的方法为一次二阶矩法。一次指将功能函数按照泰勒展开，仅取一次项，二阶
2、矩指仅需要用到随机变量的均值（原点一阶矩）和标准差（二阶中心矩）。,一次二阶矩法一般分为两种（1）不考虑随机变量的实际分布，给出有关结构构件可靠度的解析表达式，采用泰勒级数在平均值（中心点）处展开，进行分析和计算，称为中心点法。也可采用在设计验算点进行展开，用迭代求解方法求可靠度指标，称为验算点法。,（2）、考虑随机变量的实际分布，将非正态分布当量正态化，然后采用中心点法或验算点法进行可靠度计算。,4-2 均值一次二阶矩法,在早期结构可靠性分析中，假设线性化点 就是均值点 ，此时，极限状态方程为：（4-2-1） 式中 表示随机变量,的对应均值，Z的均值可由（4-1-1）简化后的功能函数中得到，
3、均值mz标准差z可由下式求得（设各随机变量统计独立）：,可靠度指标：,例题8：圆截面直杆，承受拉力P=100kN，已知材料屈服强度fy的均值及标准差、杆的直径均值和标准差分别为： 用均值一次二阶矩法求杆的可靠性指标。,解题思路： 给出极限状态方程 求偏导，给出均值泰勒展开线性化方程 求均值 求标准差 求可靠性指标,解：P为常量，fy与d为随机变量。 用极限载荷表示的极限状态方程为：，所以有：,线性化后的极限状态方程为：,方程为：,由此有：,Z的均值：,Z的标准差：,可靠度指标为：,另一解法：,解：P为常量，fy与d为随机变量。 用应力极限状态方程来进行求解：有：,代入4-1-1得：,由此得：,
4、Z的均值：,Z的标准值：,可靠度指标为：,优点是： （1）直接给出，直观 （2）计算简便，当=12时，尤为适用。缺点： 由上可以看出，对于同一问题，当采用不同的且等效的极限状态方程时，将获得不同的可靠度指标，这就是均值一次二阶矩法存在的严重问题，即（1）同一失效面，可能有多个等效的失效函数，（2）取不同的失效函数，计算得到的可靠度指标不同。,这是因为对于非线性功能函数，因略去二阶及高阶项，故随着线性化点X0i(i=1,n)到失效边界距离的增加而使误差越来越大.由于选用均值点作为线性点，而均值点一般在可靠区（M）而非失效边界上，故往往有相当大的误差。,4-3 验算点法一次二阶矩,为解决均值一次二
5、阶矩的问题，将线性化点选在失效边界上，而且选在于结构最大可能失效概率对应的设计验算点P*(S*,R*)上。依此得到的方法称为改进一次二阶矩法或验算点法。该方法是1974年由Hasofer和Lind提出来的，也称H-L法。,定义可靠度指标为：在标准化坐标系中从原点（均值点）到失效面的最短距离。当极限状态方程为线性的时候，则,当极限状态方程为非线性的时候，则必须采用其他的方法来求得，其中最常用的是迭代法。,下面介绍的求法。,已知随机变量 ，对应的功能函数为： 极限状态方程为： 将验算点 作为线性化点，用泰勒级数展开（一次展开），则有：,（4-3-1）,Z的均值：,由于 在失效边界面上，因此必有：,
6、（4-3-2）,（4-3-3）,所以4-3-2变成为：,Z的标准差：,（4-3-4）,线性化有：,（4-3-5）,且：,（4-3-6）,表示第i个随机变量对整个标准差的相对影响，因此称为灵敏系数。在已知变量方差下， 可以完全由 确定，并且有：,（4-3-7）,可靠度指标为：,整理后有：,所以有：,（对所有i）,（4-3-8）,从中可得到验算点为：,（4-3-9）,式4-3-9表示n个方程，而未知数有n+1个，因此需进行迭代求解，迭代公式为：,（4-3-6）,（4-3-9）,（4-3-10）,给出迭代过程解法：,（1）给定一个值 （2）对全部变量Xi，选取设计验算点的初值， 一般取均值， 。 （
7、3）计算 的值 （4）由4-3-6计算 的值。,（5）由4-3-9计算新的验算点 的值。 （6）重复步骤3-5，直到 前后两次的差值在容许误差范围内为止。,（7）将所得的 值代入4-3-10式计算g值。 （8）检验 的条件是否满足，若不满足，再次给定一个值，并重复3-7步。,（9）再次检验 的条件是否满足，若不满足，则计算前后两次和g的各自差值的比值,，且令 ，,估算新的值，并重复步骤3-7，直到获得 为止 （10）由 或 计算结构可靠度或失效概率。 （11） 的误差一般要求在0.01之内。,例题9：已知极限状态方程变量f、W均为正态分布，且:， 求可靠性指标及 f、W 的验算点值,解题思路：
8、求出 ； 对非线性函数求各参数的偏导值 给出 的表达式。给出 的表达式。 选取可靠性指标并进行迭代求解,解:（一）：,（2）,（1）,（3）选取=3.0 （4）选取验算点初值,（5）计算 的值,（6）计算新的验算点 的值,再次代入计算 的值，有：,再次计算新的验算点 的值,在此循环内有：,(7)计算 值 ：,（二）重新选取=2.5，有：,在此循环内有：,计算 值 ：,（三）令,有：,在此循环内有：,计算 值 ：,（四）令,有：,在此循环内有：,计算 值 ：,所以可靠度指标为=4.26，验算点为：,总结一下：,1、计算出正态分布下的数学特征。 2、给出 和 的表达式。 3、选取值和定义 4、进入
9、一个小循环 （1）由 公式计算 （2）由 公式计算 （3）循环（1） (2)直至 的误差满足要求，并计算此时的,（4）计算 ，若 则进入下一循环。,5、再次假定一个（若 则应增大，若则应减小）。并取上一循环的 作为此次循环开始的 值，并进入循环。,（1）由 计算 。 （2）由 计算 。 （3）循环（1）(2)，直至 满足误差要求，并计算出此时的 值。,（4）计算 ，若 则进入下一循环。,6、令 ，并取上一循环的最后的作为本次初始,（1）由 计算 。 （2）由 计算 。 （3）循环（1）(2)，直至 满足误差要求，并计算出此时的 值。,（4）计算 ，若 则进入下一循环。（仍为循环6）。 （5）若
10、 ，则= n+1，验算点为最后得到的,讨论一、上面得到的验算点为在原坐标系中的坐标，在标准化坐标系中其值分别为：,讨论二、用均值一次二阶矩方法进行计算：,由此可见均值一次二阶矩方法进行计算的误差很大。,讨论三、由线性化方程直接计算,本方程线性化后有：,即有：,例题10：圆截面直杆，承受拉力P=100kN，已知材料屈服强度fy的均值及标准差、杆的直径均值和标准差分别为： 用改进一次二阶矩法求杆的可靠性指标。,解：（1）用极限载荷表示的极限状态方程为：由于P=100kN，因此：,（2）,（3）,（4）,（5）选取=3，并令： 进行迭代求解，过程如下：,（6）选取=2.5,（7）令,进行迭代求解，则
11、有：,（8）令,进行迭代求解，则有：,（9）令,进行迭代求解，则有：,所以可靠度指标为=2.718，验算点为：,对于验算点法，只要是等效的状态方程，其结果必然是相同的，从而避免了中心点法的致命问题。在实际工程计算中，验算点法已作为求解可靠度指标的基础，并有时直接简称为一次二阶矩法。但是要注意，用一次二阶矩法只有在统计独立的正态分布变量和线性极限状态方程下才能得到精确值，而对于非线性状态方程则为近似值。在工程结构中，变量基本都为统计独立的，但却不一定是正态分布，对应其他分布变量，则需采用其他方法。,GB50068-2001 1.0.4 1.0.6 1.0.7 3.0.7 3.0.8 3.0.9
12、3.0.11 7.0.2,4-4 JC法,JC法是拉克维茨和非斯莱等人提出来的，它适用于随机变量为任意分布下结果可靠度的求解，该法通俗易懂，计算精度又能满足工程需要，该法已经为国际安全度联合委员会（JCSS）所采用，故又称为JC法。,基本原理是：首先把随机变量Xi原来的非正态分布用正态分布替代，但对于代替的正态分布函数要求在设计验算点X*处的累积概率分布函数（CDF）值和概率密度函数（PDF）值都和原来的CDF和PDF值相同，然后根据这两个条件求得等效正态分布的均值和标准差，最后采用验算点法求解结构的可靠性指标。,JC法中正态分布替代原任意分布,下面讨论如何利用上述当量正态化来求解等效的正态分
13、布的均值 和标准差 。,设原来验算点的累积概率为：,用来代替的正态分布验算点累积概率为：,（4-4-1）,根据替代条件，则以上两个概率相等，即：,同时设原来分布验算点的概率密度函数为：,替代的正态分布验算点处概率密度函数为，,要求PDF相等，即上述两式相等，有：,（4-4-2）,由4-4-1有：,（4-4-3）,代入4-4-2有：,即：,（4-4-4）,由4-4-3可得：,（4-4-5）,其中 和 分别代表变量Xi原来的累积概率分布函数和概率密度函数，和分别代表标准正态分布下的累积概率分布函数和概率密度函数，其值分别查附表1和下式求得：,（4-4-6）,（4-4-4）,（4-4-5）,（4-4-6）,该三式即为对一般分布的计算公式。当分布为正态分布时，不必用上述公式进行转换，而可以直接将该变量的均值和标准差作为变换后的均值和标准差。当分布为对数正态分布时，则可对上式进行简化。,
