《江苏省高三数学第二轮复习备课笔记（苏教版）第1－4课时函数问题的题型与方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省高三数学第二轮复习备课笔记（苏教版）第1－4课时函数问题的题型与方法（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 14 课时 课题：函数问题的题型与方法一复习目标：一复习目标： 1了解映射的概念，理解函数的概念。 2了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方 法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。 3了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。4理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和 性质。 5理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。 6能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 二考试要求：二考试要求： 1灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及
2、分类讨论等方法，解函数综合题。 2应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高 分析问题和解决问题的能力。 三教学过程：三教学过程： （）函数的概念型问题函数概念的复习当然应该从函数的定义开始函数有二种定义，一是变量观点下的定 义，一是映射观点下的定义复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构 成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运 用具体要求是： 1深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数 与其反函数的关系 2系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法在熟练有关技能的 同时，
3、注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用 3通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本 质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基 础 本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体 上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式 的函数，会求其反函数 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应 法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指 导其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，
4、解不等式 等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会 做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类 型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础复习的重点是求得对这些 问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题 深化对函数概念的认识深化对函数概念的认识 例例 1下列函数中，不存在反函数的是 （ ）分析：分析：处理本题有多种思路分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因 为过程太繁琐从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在 其
5、定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作 判断，这是常用方法，请读者自己一试 此题作为选择题还可采用估算的方法对于 D，y=3 是其值域内一个值，但若 y=3， 则可能 x=2(21)，也可能 x=-1(-1-1)依据概念，则易得出 D 中函数不存在反函数于是 决定本题选 D 说明：说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关 键 由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然 成了函数概念复习中的重要课题 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 1求函数定
6、义域的基本类型和常用方法求函数定义域的基本类型和常用方法 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的取 值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练这里的最高层次要求是给出的 解析式还含有其他字例例 2已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： f x分析：分析：x 的函数 f(x )是由 u=x 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中 x 是自变22量，u 是中间变量由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知 0u2，即 0x 2求2x 的取值范围解：解：(1)由 0x 2， 得 2说明：说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型
7、，即不给出 f(x)的解析式，由 f(x)的定 义域求函数 fg(x)的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法(2)是二种类 型的综合求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域， 后面还会涉及到2 2求函数值域的基本类型和常用方法求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些 “运算”而得函数的值域 3 3求函数解析式举例求函数解析式举例例例 3 3已知 xy0，并且 4x -9y =36由此能否确定一个函数关
8、系 y=f(x)？如果能，22求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由分析分析： 4x -9y =36 在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数22关系 y=f(x)，但加上条件 xy0 呢？所以因此能确定一个函数关系 y=f(x)其定义域为(-，-3)(3，+)且不难得到其值域为(- ，0)(0，) 说明：说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系任何一个函数的 解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式求函数解 析式还有两类问题： (1)求常见函数的解析式由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数， 对数函数，三角函数
9、及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定 其解析式这里不再举例 (2)从生产、生活中产生的函数关系的确定这要把有关学科知识，生活经验与函数概 念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分 （）函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想， 是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、 或方程与不等式的混合组） ，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时， 还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。函数和多元方程没有什么本
10、 质的区别，如函数 yf(x)，就可以看作关于 x、y 的二元方程 f(x)y0。可以说，函数的 研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑 的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数 关系型的数学模型，从而进行研究。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像1变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的 具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质， 是应用函数思
11、想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能 产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也 可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 (一)函数的性质函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对 定义的深入理解上下功夫复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的 定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数 的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是：1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某 一区间
12、的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解 和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学 思想方法解决问题的能力这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数 y=f(x)在给定区间上的单调性，反 映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定 义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(
13、x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上， 要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关 于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其 相应图象的特殊的对称性的反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件，调动相关知识， 选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求1 1对函数单调性和奇偶性定义的理解对函数单调性和奇偶性定义的理解例例 4 4下面四个结论：偶函数的图象一定与 y 轴
14、相交；奇函数的图象一定通过原 点；偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(xR)， 其中正确命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D4分析：分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定相交，因此正确，错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确若 y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得 f(x)=0，但不一定 xR，如例 1 中的(3)， 故错误，选 A说明：说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零2 2复合函数的性质复合函数的性质复合函数 y=fg(x)是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的，因变量 y
15、通过中间变量 u 与自 变量 x 建立起函数关系，函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数 u=g(x)在区间m，n上是单调函数，且函数 y=f(u)在区间g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是单调函数，那么若 u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数 y=fg(x)为增函数；若 u=g(x)，y= f(u)增 减性不同，则 y=fg(x)为减函数(2)奇偶性规律若函数 g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是 奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x) 是偶函数例例 5 5若 y=log (2-ax)在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ ）aA(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)分析：分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：使 log (2-ax)有意义，a 即 a0 且 a1，2-ax0使 log (2-ax)在0，1上是 x 的减函数由于所给函数可a 分解为 y=log u，u=2-ax，其中 u=2-ax 在 a
