《江苏省南京师范大学附属中学2016届高三寒假数学补课讲义5.直线与圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南京师范大学附属中学2016届高三寒假数学补课讲义5.直线与圆（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5直线与圆直线与圆例例 1 1若直线与圆相切，则的值为_. 011yxa2220xyxa12两圆 x2y24x2y10 与(x2)2(y2)29 的位置关系是_. 外切3已知圆 C 与圆(x1)2y21 关于直线 yx 对称，则圆 C 的方程为 x2+(y+1)2=14若直线 4x3y20 与圆有两个不同的公共点，则实01242222ayaxyx数 a 的取值范围是_. 6a45. 已知直线:40l xy与圆22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_.26圆的方程为 x2+y26x8y0，过坐标原点作长为 8 的弦，求弦所在的直线方程.解：x2+y26x8y=0 即(x3)2+(y4
2、)2=25， 设所求直线为 ykx。 圆半径为 5，圆心 M（3，4）到该直线距离为 3， 2|34|3 1kd k ，。22924169(1)kkk7 24k 所求直线为 y或。x2470x例例 2 最值问题最值问题 1已知圆 C：（x1）2（y2）225，直线 l：（2m+1）x+（m+1） y7m4=0（mR）. （1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. （1）证明：l 的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.2x+y7=0， x=3， x+y4=0， y=1， 即 l 恒过定点 A（3，1）.mR，得yxOCB
3、AP圆心 C（1，2） ，AC5（半径） ，点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交5于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC，l 的方程为 2xy5=0.212如图，平面上有 A(1 , 0)、B(1 , 0)两点，已知圆 C 的方程为.222342xy（1）在圆 C 上求一点 P1使ABP1面积最大并求出此面积；（2）求使取得最小值时的圆 C 上的点 P 的坐标. 22|BPAP解：（1）P1(3,6), ABP1面积最大为 6；（2）要使取得最小值，只要OP最小即可，22|BPAPP(95,12 5)3. 直线 l 过点 P(1,2)，与 x,y 轴正半轴交于两点 A
4、、B，当 AB 最短时，求直线 l 的方程.) 1(22,233xyk例例 3 轨迹问题轨迹问题1已知定点，点 M 与 A、B 两点所在直线的斜率之积等于，则点 M)0 , 1(A)0 , 1 (B4的轨迹方程是_. x2+) 1( 142 xy2已知圆和两点 A（0，4） ，B（4，0） ，当点 P 在圆上运动时，则的重422 yxABC心的轨迹方程是_. (x94)34()3422y3如图，圆与圆的半径都是 1，. 过动点分别作圆、圆的切线1O2O124O O P1O2O（分别为切点） ，使得.试建立适当的坐标系，并求动点的轨PM PN，M N，2PMPNP迹方程.解：以的中点为原点，所在
5、直线为轴，12O OO12O Ox建立如图所示的平面直角坐标系，则，.由已知，1( 2 0)O ，2(2 0)O，2PMPN得.因为两圆半径均为 1，222PMPN所以.设，22 1212(1)POPO ()P x y，则，2222(2)12(2)1xyxy 即.(或)22(6)33xy221230xyx4已知方程 x2y22(m3)x2(14m2)y16m490 表示一个圆， （1）求实数 m 取值范围； （2）求圆的半径 r 取值范围； （3）求圆心轨迹方程.m 满足-2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)0，即 7m2-6m-10,117m半径 r= , 时，, 2231
6、67617()77mmm 117m3 7m max4 7 7r0r477设圆心 P（x，y） ，则消去 m 得：y=4(x-3)2-1,又2341xmym 117m 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)（）2047x412047x例例 4 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f (x)x22xb（xR）的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为 C. （1）求实数 b 的取值范围； （2）求圆 C 的方程； （3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论. 解：()显然 b0否则，二次函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，
7、（-2，0） ，这与题设不符，由 b0 知，二次函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与 y 轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与 x 轴必有两个交点，从而方程 x2+2x+b=0 有两个不相等的实数根，因此方程的判别式 4-4b0，即 b1，所以 b 的取值范围是(-，0)(0，1)()由方程 x2+2x+b=0，得，于是，二次函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与坐标轴的交点是，设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，因圆 C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆 C 的方程，得，解上述方程组，因 b0，得，所以，圆 C 的方程为 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0。 (
8、)圆 C 过定点证明如下：假设圆 C 过定点(x0，y0)（x0，y0不依赖于 b） ，yxODCMBA将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为 x02+y02+2x0-y0+b（1-y0）=0， （*）为使(*)式对所有满足 b1(b0)的 b 都成立，必须有 1-y0=0，结合(*)式得 x02+y02+2x0-y0=0，解得或，经检验知，点(0，1)， （-2，1）均在圆 C 上因此，圆 C 过定点例例 5 已知 n 条直线l1：xy+C1=0，C1=，l2：xy+C2=0，l3：xy+C3=0，ln：xy+Cn=0（其中2C1C2C3Cn） ，这 n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的
9、距离顺次为 2、3、4、n. （1）求 Cn； （2）求 xy+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积； （3）求 xy+Cn1=0 与 xy+Cn=0 及 x 轴、y 轴围成图形的面积.解：（1）原点 O 到 l1的距离为 1，原点 O 到 l2的距离为 1+2，原点 O 到 ln的距离 dn为 1+2+n=.Cn=dn，Cn=.2) 1( nn22) 1(2nn（2）设直线 ln：xy+Cn=0 交 x 轴于 M，交 y 轴于 N，则OMN 面积SO MN=|OM|ON|=Cn2=.21 21 4) 1(22nn（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知 Sn=，则有 Sn1=.4)
10、1(22nn 4) 1(22nnSnSn1=n3. 所求面积为 n3.4) 1(22nn 4) 1(22nn例例 6 已知圆 M： ，直线 l0：xy8 , l0上一点 A 的横坐标为 a , 过2342222yyx点 A 作圆 M 的两条切线 l1 , l2 , 切点分别为 B ,C. （1）当 a0 时，求直线 l1 , l2 的方程； （2）当直线 l1 , l2 互相垂直时，求 a 的值；（3）是否存在点 A，使得 BC 长为？若存在，求出点 A 的坐10标，若不存在，请说明理由.圆的方程是 x+(y-1)=25/2,所以圆心是（0,1）,半径是 52/2 (1)a=0,则 A(0,8),设直线为 y=kx+8,因为相切,所以|-1+8|/(k+1)=52/2,k=73/5 所以两条直线为 y=73/5x+8 和 y=-73/5x+8 (2)当两条直线垂直时,与两个半径形成正方形,所以|MA|=2*（52/2）=5, 所以 a+(8-a-1)=25,解得 a=3 或 4. (3)半径 52/2,BC 的一半长为10/2,所以圆心到 BC 的距离 d=10,所以d*|MA|=(10/2)所以|MA|=10/4,所以 a+(8-a-1)=（10/4),解得 a-7a+387/16=0,方程无解 所以不存在.
