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1、江苏省江苏省 2016 届高三高考前热身训练届高三高考前热身训练 数学试题数学试题 第 I 卷(必做题 160 分) 一、填空题：本题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分。 1.设集合，则等于 1 1 ,216 x AxBx y x R AC B 答案：0,1 2.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 3 1 ai i ,aR i 答案： 3 3.平面向量的夹角为 ab与 rr 2,0 ,12 3 abab ，则 rrrr 答案： 2 4. 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取 2 瓶 中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 答
2、案： 7 10 5. 下面是一个算法的伪代码，其运行的结果为 S 答案：25 6. 已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：l m 若，则； 若，则；lmlm 若，则； 若，则.lmlm 以上命题中，正确命题的序号是 答案： 7.已知双曲线的一个实轴端点恰与抛物线的焦点重合，且双曲线的 22 22 1 xy ab 2 4yx 离心率等于 2，则该双曲线的方程为 答案： 2 2 1 3 y x S1 For From 3 To 9 Step 2I SS+I End For Print S 8. 已知数列满足，则的值为 n a 11 1 2,() 1 n n n a aan a N 1 23201
3、0 a a aa 答案：6 9.已知函数的最大值为 M,最小值为，则= )( 1| 1sin| )(Rx x xx xf mmM 答案：2 10. 在中，角 A,B,C 所对的边分别是，若，且ABC, ,a b c 222 bcabc 则的面积等于 4AC AB uuu r uu u r gABC 答案：2 3 11. 已知函数 f（x）及 g（x） （xD） ，若对于任意的 xD，存在 x0，使得 f（x）f（x0） ， g（x）g（x0）恒成立且 f（x0）=g（x0） ，则称 f（x） ，g（x）为“兄弟函数”，已知函数 f（x）=x2+px+q（p，qR） ，g（x）=是定义在区间 ，
4、2上的“兄弟函数”，那 么函数 f（x）在区间 ，2上的最大值为 答案：2 12. 已知定义在上的函数，则方程的实 (,) 2 2 ,0, ( ) (2),0, xxx f x f xx 4 ( )1log |f xx 数解的个数是 . 答案：6 13在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离xOy( , )P a b 1 lyx 2 l2yx 之和为，则的最大值为 2 2 22 ab 答案： 18 解：由题意得：42 baba （1）此时的最大值为；（2）此时的最大值为 . 3 , 2 , a ba ba 22 ab18 . 1 , 2 , a ba ba 22 ab 10； （3）此时
5、的最大值为 10；（4）此时的最大值为. . 1 , 2 , b ba ba 22 ab . 3 , 2 , b ba ba 22 ab18 14. 设正实数满足，则当取得最大值时，, ,x y z 22 340xxyyz xy z 的最大值为 . 212 2 xyz 答案：3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. （本小题满分 14 分） 已知函数（其中） ，若的一条对 1 3sincoscos 2 f xxxx0 f x 称轴离最近的对称中心的距离为 4 （I）求的单调递增区间； yf x （II）在中角 A、B、C 的对
6、边分别是满足ABCabc、 恰是的最大值，试判断的形状. 2coscosbaCcAf B ，且 f xABC 解：()因为 22 131 ( )3sincoscossin2(2cos1) 222 f xxxxxx 3 分 31 sin2cos2sin(2) 226 xxx 的对称轴离最近的对称中心的距离为( )f x 4 所以，所以，所以T 2 2 1 5 分( )sin(2) 6 f xx 解 222 262 kxk 得： 63 kxk 所以函数单调增区间为6 分( )f x,() 63 kkkZ () 因为，由正弦定理，(2)coscosbaCcA 得(2sinsin)cossincosB
7、ACCA 2sincossincossincossin()BCACCAAC 因为 sin()sin()sin0ACBB A B C D EF M N G 第 17 题 图 ，所以2sincossinBCBsin(2cos1)0BC 所以 ，所以9 分 1 cos 2 C 0C 3 C 所以 2 0 3 B 4 02 3 B 7 2 666 B 根据正弦函数的图象可以看出，无最小值,有最大值，( )f B max 1y 此时，即,所以2 62 B 3 B 3 A 所以为等边三角形12 分ABC 17. （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥中，与交于点且平面ABCDP ACBDACCDAB,/
8、 BD,O 平面为棱上一点. PACEABCD,PA （1）求证：;OEBD （2）若求证：平面 ,2,2EPAECDAB /EO.PBC （1）因为平面底面，PACABCD 平面底面， PACABCDAC ， BDAC 平面，BD ABCD 所以平面，BD PAC 又因为平面，OE PAC 所以7 分BDOE （2）因为，与交于，/ABCD2ABCDACBDO 所以，:1:2CO OACD AB 又因为，所以，2AEEP:CO OAPE EA 所以，又因为平面，平面，/EOPCPC PBCEO PBC 所以平面14 分/EOPBC 17. （本小题满分 14 分） 某小区想利用一矩形空地建市
9、民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘ABCD （如图中阴影部分） ，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，60ADm40ABm 且中，经测量得到EFG90EGF 为保证安全同时考虑美观，健身广10 ,20AEm EFm N T M H G F E D C B A 场周围准备加设一个保护栏设计时经过点作一直线交于，从而得到五边G,AB DFNM, 形的市民健身广场，设MBCDN( )DNx m （1）将五边形的面积表示为的函数；MBCDNyx （2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并x 求出最大面积 （1）作GHEF，垂足为H， 因为，所以，因为DNx40,60NHx NAx, NH
10、NA HGAM 所以，所以 2 分 4060 10 xx AM 60010 40 x AM x 过作交于 T，M/MTBCCD 则， MBCDWMBCTMTDN SSS 1 (40)60(60) 2 AMxAM 所以 600101(60)(60010 ) (40)60 40240 xxx y xx 、7 分 x x 40 605 2400 2 由于与重合时，适合条件，故,、8 分NF30AMAF0,30x （2），10 分 40 40 400 4052400 40 605 2400 2 x x x x y 所以当且仅当，即时，取得最大值 2000，13 分 x x 40 400 4030, 0
11、20xy 所以当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为14 分20DNm 2 2000m 18. （本小题满分 16 分） 已知两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且，若动点 00 ,1 ,0,A xBy1AB 满足.,P x y23OPOAOB （I）求出动点 P 的轨迹对应曲线 C 的标准方程； （II）一条纵截距为 2 的直线与曲线 C 交于 P，Q 两点，若以 PQ 直径的圆恰过原点，求 1 l 出直线方程； （III）直线与曲线 C 交于 A、B 两点，试问：当 t 变化时，是否存 2: 1lxty10E ， 在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 2
12、lABE2 3 2 l 解: () 因为23OPOAOB 即 0000 ( , )2(,0)3(0,)(2, 3)x yxyxy 所以 00 2,3xxyy 所以 00 13 , 23 xx yy 又因为,所以| 1AB 22 00 1xy 即:,即 22 13 ()()1 23 xy 22 1 43 xy 所以椭圆的标准方程为4 分 22 1 43 xy () 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为 1 l22ykx 联立直线和椭圆方程 1 l 22 2 1 43 ykx xy 得: 22 (34)1640kxkx 由,得0 2 1 4 k 设 112,2 ( ,),()P x yQ x y
13、则 (1) 1212 22 164 , 3434 k xxx x kk 以直径的圆恰过原点PQ 所以,OPOQ0OP OQ 即 1212 0x xy y 也即 1212 (2)(2)0x xkxkx 即 2 1212 (1)2 ()40kx xk xx 将(1)式代入,得 2 22 4(1)32 40 3434 kk kk 即 222 4(1)324(34)0kkk 解得,满足（*）式，所以8 分 2 4 3 k 2 3 3 k ()由方程组,得 22 1 1 43 xty xy 22 (34)690tyty 设,则 112,2 ( ,), ()A x yB x y 1212 22 69 ,0 3434 t yyyy tt 所以 2 2 2 121212 222 69121 4()4() 343434 tt yyyyy y ttt 因为直线过点:1l xty(1,0)F 所
