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1、第2章 矩阵的初等变换与线性方程组,2.1 矩阵的初等变换,2.2 初等矩阵,2.3 矩阵的秩,2.4 线性方程组的解,2.1 矩阵的初等变换,2.1.1 矩阵的初等变换,例2.1 用消元法解线性方程组,解 首先由矩阵的乘法可知，方程组可以写成矩阵乘积形式,并且该方程组解的情况完全由它的増广矩阵决定。,把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的变换过程 放在一起做对比,増广矩阵,（1）把方程组中第二个方程加上第一个方程的-2倍，把第三 个方程加上第一个方程的-1倍，得,（2）交换上面方程组中第二与第三个方程的位置，得,（3）把上面方程组中的第三个方程加上第二个方程的5倍，得,（4）再把上面方程
2、组中的第三个方程两边同乘以-1/19，得,最后得到的方程组具有这样的特点：自上而下看，未知量的个数依次减少，成为阶梯形（上面用虚线标出阶梯形）方程组。 方程组施行了如下三种基本变换： （I）互换两个方程的位置； （II）用一个非零常数乘某一个方程； （III）把一个方程的常数倍加到另一个方程上去。 这三种变换都是可逆的，所以变换前后的方程组是同解的，因而也称方程组的这三种基本变换为方程组的同解变换。 经过上述消元过程，我们把线性方程组变成一个与它同解的阶梯形线性方程组，而对阶梯形方程组,求解非常容易，因为只需从最后一个方程开始逐步往上代入即可求得方程组的解：,显然，此题的求解过程分两步进行：
3、（1）按顺序消元，使方程组变为与之同解并且易于求解的阶梯形方程组； （2）回代求出方程组的解。我们称这种求解线性方程组的方法为高斯消元法。,在上面的运算过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知量整个过程中，并未参与任何运算，因此每一步都把它们逐一写出是多余的，在计算过程中完全可以把它们隐去，只是这时要注意不要打乱系数的排列顺序。也就是说对方程组的变换完全可以转化为对其增广矩阵的行作相应的变换。把方程组的三种同解变换移植到矩阵上就得到矩阵的三种初等行变换。,（有时为了看清变化的形式，往往会在箭头记号上方加以,，通常情况下,。,说明），但不能记为,此时称A与B行等价。,此时称A与B列等价
4、。,例2.1的消元过程用矩阵初等行变换形式可简洁地表示为：,等价关系满足下列性质：,矩阵A，B，C 等价,满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵。 （1）零行（元素全为零的行）都在非零行的下边； （2）非零行的非零首元的下边全是零。,对矩阵,继续进行初等行变换,定义2.3若一矩阵可经若干次初等变换化为形如,的矩阵，即,则称,为该矩阵的等价标准形。,总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）把它化为等价标准形,解 （1）先从矩阵,最左边的非零列开始，通过交换它的,，利用等价矩阵的传递性可知：,2.2 初等矩阵,2.2.1 初等矩阵的概念,定义2.4 由单位矩阵,等矩阵。对应于三类初等行（列）变换
5、，初等矩阵有三种：,经过一次初等变换得到的矩阵称为初,1.初等矩阵的行列式都不等于零，因此初等矩阵都可逆；,2. 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；,初等矩阵具有以下性质：,3. 初等矩阵的逆矩阵仍是同类初等矩阵,2.2.2 初等变换与初等矩阵关系,矩阵的初等变换是一种运算，而初等矩阵是一些矩阵，有着极其密切的关系，它们是用不同的语言来描述两个矩阵之间的同一种关系。初等矩阵主要用于某些理论推导与证明，初等变换则侧重于对给出具体元素的矩阵进行运算。先看下面的矩阵乘法运算。,左乘一个矩阵相当于做一次行变换,右乘一个矩阵相当于做一次列变换,例2.4 设有初等矩阵,定理 2.3 可逆矩阵经过初等变换后仍
6、为可逆矩阵。,通过一系列初等行变换化为单位矩阵,2.2.3 求逆矩阵的初等变换法,求逆矩阵通常有两种方法：伴随矩阵法和初等变换法，求,阶行列式，当,个,伴随矩阵要计算,较大时,计算量非常大，所以在实际应用中，伴随矩阵仅作为证明矩阵可逆条件的铺垫，只有较简单的二阶矩阵用伴随矩阵求逆，其余的多采用初等变换法。,解,即,即,所以,解2,此过程可通过初等行变换实现,2.3 矩阵的秩,2.3.1 矩阵的秩的概念,【注】 （1）规定零矩阵的秩为零。,解 计算它的二阶子式，因为,继续计算它的三阶子式,由于该矩阵共有四个三阶子式均为零，,找到一个二阶非零子式则秩大于等于2,2用初等变换求矩阵的秩（此为较常用的
7、方法）,能否利用矩阵的初等变换把一般的矩阵“变成”一个与之同秩的行阶梯形矩阵,同理可证,因为,所以,解 对矩阵施行初等行变换，将其变成行阶梯形，有,在任何时候都不可能有,2.4 线性方程组的求解,若记,为零矩阵时，称方程组为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。,线性方程组有解，称该方程组为相容的，否则称为不相容的。,如果线性方程组中的方程个数与未知量个数相同，并且其系数矩阵满秩，那么可有以下三种求解方法： （1）克拉默法则；（2）逆矩阵；（3）高斯消元法。,2.4.2 线性方程组解的判别,例2.12 用高斯消元法求解线性方程组：,解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换,则原方程组的同解方程组
8、为：,用“回代”的方法求出解：,此方程组有无穷多组解。令,解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换,原方程组的同解方程组为,最后一个方程为矛盾方程，说明方程组无解，即原方程组是不相容的。,方程组的解的情况可以归结为：有惟一解，有无穷多解和无解三种情况,定理2.7 线性方程组相容的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。,解 方程组可变形为,此方程组为齐次的，对该方程组的系数矩阵施行初等行变换,故当,，且,时，方程组有惟一零解；,当,时，,，方程组有无穷多解，对应的方程组为：,例2.15 已知一电路如图所示，求电流,的值,解：利用基尔霍夫定律,对此方程组的增广矩阵施行初等行变换,原方程组有
9、惟一解：,解,取,为自由未知量，,则方程组的解为,为任意常数,【注】1、对于含参数的矩阵作初等变换时，若需要对某些因式作变换，应注意因式可以等于零，必须对因式等于零的情况另作讨论.,2、求解一般线性方程组可分如以几步进行： （1）写出方程组的增广矩阵。 （2）对方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为行阶梯形，因为行阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩，所以由行阶梯形可判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等，也就是判断出方程组是否有解，如果没有解，停止；否则进行下一步。,（3）继续对增广矩阵施行初等行变换，将它化为行最简形，写出该行最简形矩阵所对应的方程组。 （4）把第（3）步所得每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式，即得方程组的一般解。,
