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1、3.4 基本不等式及其应用知识点一 基本不等式1两个不等式不等式内容等号成立的条件重要不等式a2b22ab(a，bR)“ab”时取“”基本不等式_“_”时取“”2.设 a，b 为正数，则称为 a，b 的_平均数，称为 a，b 的_平均数ab 2ab知识点二 基本不等式与最值1已知 x，y 都是正数，(1)若 xys(和 s 为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最_值.s2 4(2)若 xyp(积 p 为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最_值 2.p2利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y 必须是_；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为_；求和 x
2、y 的最小值时，应看积 xy是否为_(3)_成立的条件是否满足考点一 利用基本不等式比较大小例例 1 1 若 00，b0)时，关键是对式子进行恰当的变形，合ab理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用在解决不能直接利用基本不等式的证明问题时，要重新组合，构造运用基本不等式的条件1已知 a，bR，且 ab0，则在ab； 2；ab2；2a2b2 2b aa bab 2ab 2这四个不等式中，恒成立的个数为( )a2b2 2A1 B2 C3 D42设ba0，且 ab1，则四个数 ，2ab，a2b2，b 中最大的是( )1 2Ab Ba2b2 C2ab D.1 23已知 x1，函数 f(x)x
3、则 f(x)与 3 的大小关系是_1 x1考点三 利用基本不等式求最值例 3(1)(6a3)的最大值为( )（3a）（a6）A9 B. C3 D.9 23 22(2)设 x2，则函数 f(x)x的最小值是_2 x24.已知 t0，则函数 的最小值为_.2t4t1yt2x4x5 2x4 5.已知 x 则 f(x) 的最小值为_. 【变式】 (1)已知 a0，b0，且 ab1，则 的最小值是_1 a2 b(2)若 0x1，则 f(x)x(43x)取得最大值时，x 的值为_考点四、利用基本不等式求条件最值问题例：1.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是( )(A) (B
4、) (C)5 (D)62.设 a0，b0，若 是 3a和 3b的等比中项，则 的最小值为_.(1)应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性1若 2x2y1，则 xy 的取值范围是( )A B C2已知正实数a，b 满足 1，xab，则实数 x 的取值范围是( )2 a1 b5 2，24 528 5311 abA6，) B2，) C4，) D32，)2223用一段长为 40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是_4、函数 的值域是_.5.已知 x1，y1，且 lgxlgy4，那么 lgxlgy 的最大值是_. 6、已知函数 f(x)= (x2)的图象过点 A(11，12)，求函数 f(x)的最小值. 2y2xxaxx2
