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1、第 1 页 共 23 页高中数学：求函数值域的十三种方法高中数学：求函数值域的十三种方法1、观察法（观察法（ ）2、配方法（配方法（）3、分离常数法（分离常数法（）4、反函数法（反函数法（）5、判别式法（判别式法（）6、换元法（换元法（）7、函数有界性函数有界性8、函数单调性法（函数单调性法（）9、图像法（数型结合法）（图像法（数型结合法）（）10、基本不等式法基本不等式法11、利用向量不等式利用向量不等式 12、一一映射法一一映射法13、 多种方法综合运用多种方法综合运用一、观察法一、观察法：从自变量从自变量的范围出发，推出的范围出发，推出的取值范围。的取值范围。x( )yf x【例例 1】
2、求函数的值域。1yx【解析】， 函数的值域为。0x 1 1x 1yx1,)【例例 2】求函数x1y 的值域。【解析】0x 0x1显然函数的值域是：), 0()0 ,(【例例 3】已知函数，求函数的值域。112 xy2 , 1 , 0 , 1x【解析】因为，而，所以：2 , 1 , 0 , 1x 331ff 020 ff11f3 , 0 , 1y注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为，则函数的值域为。Rx1|yy二二 配方法：配方法式求配方法：配方法式求“二次函数类二次函数类”值域的基本方法。形如值域的基本方法。形如的函数的函数2( )( )( )F xafxbf xc的值域问
3、题，均可使用配方法。的值域问题，均可使用配方法。【例例 1】 求函数的值域。225, 1,2yxxx 【解析】将函数配方得：由二次函数的性质可知：当 x=1 -1,2时，当时， 故函数的值域是：4，8【变式变式】已知，求函数的最值。第 2 页 共 23 页【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图 2 所示。函数的最小值为，最大值为。图 2【例例 2】 若函数时的最小值为，（1）求函数2( )22, ,1f xxxxt t当( )g t( )g t（2）当-3,-2时，求 g(t)的最值。（说
4、明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）t【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。图 1图 2图 3如图 1 所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。如图 2 所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。如图 3 所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，g(t)= 0110, 11, 1) 1()(22min tttttxf(2) 时，为减函数221(0)( )1(01)22(1)ttg ttttt (,0t 2( )1g tt在上，也为减函数 3, 22( )1g tt第 3 页
5、 共 23 页， min( )( 2)5g tgmax( )( 3)10g tg【例例 3】 已知，当时，求的最大值2( )22f xxx1()xtttR，( )f x【解析】由已知可求对称轴为1x （1）当时，1t 22 minmax( )( )23( )(1)2f xf tttf xf tt，（2）当，即时，11tt 01t根据对称性 若即时， 21 21tt102t2 max( )( )23f xf ttt若即时，21 21tt112t 2 max( )(1)2f xf tt（3）当即时，1 1t 0t 2 max( )( )23f xf ttt综上， 21, 3221, 2 )(22m
6、ax ttttt xf观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：对二次
7、函数的区间最值结合函数图象总结如下：当当时时 )(21 2)()(21 2)( )(21max 如图如图，nmabnfnmabmf xf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf第 4 页 共 23 页当当时时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mb amnf nb amn( )( )()()( )()()min，如图如图21 221 2910【例例 4】 (1) 求在区间-1,2上的最大值。2f( x)x2ax1(2) 求函数在上的最大值。)(axxy 1,1x
8、【解析】(1)二次函数的对称轴方程为，xa 当即时，；1a2 1a2 maxf( x)f(2)4a5当即时，。 综上所述：。1a2 1a2 maxf( x)f( 1)2a2max12a2,a2f( x)14a5,a2 (2)函数图象的对称轴方程为，应分，即，4)2(2 2aaxy2ax 121a12a12a22a和这三种情形讨论，下列三图分别为2a2a（1）；由图可知2amax( )( 1)f xf（2）；由图可知a 22max( )( )2af xf（3） 时；由图可知2amax( )(1)f xf第 5 页 共 23 页；即 2,) 1 (22,)2(2,) 1(afaafafy最大 2,
9、122,42,) 1(2aaaaaay最大【例例 5】 已知二次函数在区间上的最大值为 3，求实数 a 的值。2f( x)ax(2a1)x13,22【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。a0a0若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令，得2a1f()32a1a2 此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；x2 32,22 1 2（2）令，得f(2)31a2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；1a2（3）若，得3f()322a
10、3 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。2a3 综上，或1a22a3 解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明
11、了。【变式变式】 已知函数在区间上的最大值为 4，求实数 a 的值。2( )21f xaxax 3,2【解析】2( )(1)1, 3,2f xa xa x （1）若，不符合题意。0,( )1,af x（2）若则0,a max( )(2)81f xfa由，得814a 3 8a （3）若时，则0a max( )( 1)1f xfa 由，得14a3a 综上知或3 8a 3a 【例例 6】 已知函数在区间上的最小值是 3最大值是 3，求，的值。2 ( )2xf xx , m nmnmn【解法 1】讨论对称轴中 1 与的位置关系。,2mnmn第 6 页 共 23 页若，则maxmin( )( )3 (
12、)( )3f xf nn f xf mm 解得若，则，无解12mnn maxmin( )(1)3 ( )( )3f xfn f xf mm 若，则，无解12mnm maxmin( )(1)3 ( )( )3f xfn f xf nm 若，则，无解maxmin( )( )3 ( )( )3f xf mn f xf nm 综上，4,0mn 【解法 2】由，知，则，211( )(1)22f xx 113,26nn , (,1m n 又在上当增大时也增大所以 解得 , m nx)(xfmaxmin( )( )3 ( )( )3f xf nn f xf mm 4,0mn 评注：解法评注：解法 2 2 利
13、用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了，的取值范围，避开了繁难的分类的取值范围，避开了繁难的分类mn讨论，解题过程简洁、明了。讨论，解题过程简洁、明了。【例例 7】7】 求函数的值域.35yxx【解法 1】22)4(122)5)(3(253xxxxxy显然4 , 2)4(12222xy故函数的值域是：2, 2y【解法 2】显然 3x5, 2232sin(0,)52cos2xx 352(sincos )2sin() 2,24yxx三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通三、分离常数法：分子、分
14、母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为过该方法可将原函数转化为为(常数常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。的形式此类问题一般也可以利用反函数法。)(xfky为k【例例 1】 求函数的值域12 xxy【解析】利用恒等变形，得到：，容易观察知 x-1,y1，得函数的值域为y (-,1)(1, 111xy+)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。【例例 2】 求函数的值域。122xxxxy第 7 页 共 23 页【解析】观察分子、分母中均含有项，可利用部分分式法；则有xx 2不妨令：从43)21(11111 122222 xxxxx xxxxy)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf而 注意：在本题中应
