《数学北师大版必修3教案：1.8最小二乘估计 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学北师大版必修3教案：1.8最小二乘估计 word版含解析（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、CVLCVL88 最小二乘估计最小二乘估计整整体体设设计计 教学分析教学分析 教科书通过思考交流引入了最小二乘法，进一步提出了线性回归方程，在探索用多种 方法确定线性回归直线的过程中，向学生展示创造性思维的过程，帮助学生理解最小二乘 法的思想通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考，使同学们了解利用线性回归方程 解决实际问题的全过程，体会线性回归方程作出的预测结果的随机性和并且可能犯的错 误进一步，教师可以利用计算机模拟和多媒体技术，直观形象地展示预测结果的随机性 和规律性 三维目标三维目标 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程了解最小二乘法的思想，能根据 给出的线性回归方程的系数公式建
2、立线性回归方程 重点难点重点难点 教学重点：求线性回归方程，以及线性回归分析 教学难点：确定线性回归系数 课时安排课时安排 1 课时教教学学过过程程 导入新课导入新课 思路 1.客观事物是相互联系的，过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的 是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不 能认为数学是“因” ，物理是“果” ，或者反过来说事实上，数学成绩和物理成绩都是 “果” ，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种 确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系相关关系为表示这种相关关系，我们 接着学习两个变量的线性相关回归直线及
3、其方程 思路 2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某 6 天卖 出热茶的杯数与当天气温的对照表： 气温/ 2618131041杯数202434385064 如果某天的气温是5 ，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为 解决这个问题，我们接着学习两个变量的线性相关回归直线及其方程 推进新课推进新课 Error! Error! 1画散点图的步骤是什么？ 2正、负相关的概念是什么？ 3什么是线性相关？ 4观察下面人体的脂肪含量百分比和年龄的散点图，当人的年龄增加时，体内脂肪含 量到底是以什么方式增加的呢？图 1 5什么叫作回归直线？ 6如何求回归直线的方程？什
4、么是最小二乘法？ 7利用计算机如何求线性回归方程？ 活动：学生回顾，再思考或讨论，教师及时提示指导 讨论结果： 1建立相应的平面直角坐标系，将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到 表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图 2如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关如果散点图中 的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关 3如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关的关系 4大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪含量的百分比也在增加，呈正相关的趋 势，我们可以从散点图上来进一步分析 5从散点图上可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条直
5、线附近如果散 点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关 关系，这条直线叫作回归直线如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程)，那么 我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性就像平均数可以作为一个变量 的数据的代表一样，这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表 6从散点图上可以发现，人体的脂肪含量百分比和年龄的对应点，大致分布在通过散 点图中心的一条直线附近 那么，我们应当如何具体求出这个回归方程呢？ 有的同学可能会想，我可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距 离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时直线
6、的斜率和截距，就 可得到回归方程了但是，这样做可靠吗？ 有的同学可能还会想，在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本 相同同样地，这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？ 还有的同学会想，在散点图中多取几组点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条 直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距 同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行？ (学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳，使得上面和下 面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对，确定几条直线方程再分别算出各个直线方 程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距
7、)教师：分别分析各方法的可靠 性如图 2、图 3、图 4：图 2 图 3图 4 上面这些方法虽然有一定的道理，但总让人感到可靠性不强 实际上，求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与此直线 的距离最小” 人们经过长期的实践与研究，已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般 公式Error!Error! 这样得到的直线方程yabx称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数 推导以上公式的计算比较复杂，这里不作推导但是，我们可以解释一下得出它的原 理 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)， ，(xn，yn)，且所求回归方程是yabx
8、，其中a，b是待定参数当变量x取 xi(i1,2，n)时可以得到yabxi(i1,2，n)，它与实际收集到的yi之间的 偏差是yiyyi(abxi)(i1,2，n)图 5 这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的由于(yiy)可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用yiy|来代替，但由于它含有绝对n i1|值，运算不太方便，所以改用 Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2 来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差 这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小，即总体偏差最小经过数学上求最 小值的运算，a，b的值由公式给出 通过求式的最小值而得出回归直线的方
9、法，即求回归直线，使得样本数据的点到它 的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法(method of least square) 7见课本本节信息技术应用中利用计算机求线性回归方程的具体操作步骤Error! 思路 1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部 6 天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之 间是线性相关的数据如下表： 气温(xi)/2618131041 杯数(yi)/杯202434385064 (1)试用最小二乘法求出线性回归方程； (2)如果某天的气温是3 ，请预测这天可能会卖出热茶多少杯 解：解：(1)作出上述数据的散点图，如图 6.从散点图中可以看出，表中的两个变量是线
10、 性相关的图 6先列表求出 ， ，其他数据如下表：x35 3y115 3 ixiyix2ixiyi 12620676520 21824324432 31334169442 41038100380 545016200 6164164 合计702301 2861 910进而，可以求得b1.648，1 9106 35 3115 31 2866 35 335 3 a57.557. 于是，线性回归方程为y57.5571.648x. (2)由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是3 时，卖出 热茶的杯数估计为 57.5571.648(3)62.50163. 变式训练变式训练 下表为某地近
11、几年机动车辆数与交通事故数的统计资料 机动车辆数x/千台95110112120129135150180 交通事故数y/千件6.27.57.78.58.79.810.213 (1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果不具有线性相关关 系，请说明理由； (2)如果具有线性相关关系，求出线性回归方程 解：解：(1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如图 7.图 7 直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系 (2)计算得b0.077 4，a1.024 1， 故所求线性回归方程为y1.024 10.077 4x. 思路 2 下表给出的是一组施化肥量对水稻产量影响的试验数据： 施化
12、肥量x15202530354045 水稻产量y330345365405445450455 (1)画出上表的散点图； (2)求出回归直线的方程 解：解：(1)画出的散点图如图 8.图 8 (2)计算得b4.75，a257. 从而得所求回归直线方程是y2574.75x. 变式训练变式训练 1一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间为此进行了 10 次试验， 测得数据如下： 零件个数x/个102030405060708090100 加工时间y/分626875818995102108115122 请判断y与x是否具有线性相关关系，如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方 程 解：解：在直
13、角坐标系中画出数据的散点图，如图 9.图 9 直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系由测得的数据表可知： b0.668，a b54.96.yx 因此，所求线性回归方程为yabx54.960.668x. 2.已知 10 只狗的血球体积及红血球数的测量值如下： 血球体 积x/mL45424648423558403950红血球 数y/百 万6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72(1)画出上表的散点图； (2)求出回归直线的方程 解：解：(1)画出的散点图如图 10.图 10(2) (45424648423558403950)44.50，x1 10(6
14、.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)7.37.y1 10 设回归直线方程为yabx，则b0.175，a b0.418，yx 故所求回归直线的方程为y0.4180.175x. 点评：点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再 依系数a，b的计算公式，算出a，b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认 真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的步骤：计算平均数 ，；计算xi与yi的x y 积，求xiyi；计算x；将结果代入公式求b；用a b求a；写出回归直线方程.2iyx Error! 1下列两个变量之间的关系哪
15、个不是函数关系( ) A角度和它的余弦值 B正方形边长和面积 C正n边形的边数和它的内角和 D人的年龄和身高 答案：答案：D 2三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程是( ) Ay5.751.75x By1.755.75x Cy1.755.75x Dy5.751.75x 答案：答案：D 3已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元)，有如下统计资料： 使用年限 x23456维修费用 y2.23.85.56.57.0设y对x呈线性相关关系试求： (1)线性回归方程yabx的回归系数a，b；(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 答案：答案：(1)b1.23，a0.08；(2)12.38. 4我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型，为误差项，模型如下： 模型 1：y64x；模型 2：y64xe. (1)如果x3，e1，分别求两个模型中y的值； (2)分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型 解：解：(1)模型 1：y64x64318； 模型 2：y64xe643119. (
