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1、课堂探究课堂探究探究一 归纳推理归纳推理是发现新事物的推理方法，归纳的方法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳推理，通过观察、试验、从特例中归纳出一般结论，哥德巴赫猜想就是典型归纳推理的应用，它能在某种程度上推动数学的发展【典型例题 1】 已知数列an满足 an1anan1(n2)，a1a，a2b，设Sna1a2an，则下列结论正确的是( )Aa100a，S1002baBa100b，S1002baCa100b，S100baDa100a，S100ba解析解析：a1a，a2b，a3ba，a4a3a2a，a5a4a3b，a6a5a4ab，a7a，a8b，可得数列具有周期性，每连续 6 项为一
2、个周期a100a4a，S100S42ba.答案答案：A点评 解答选择题时，根据题干提供的条件，用演绎推理或计算很难确定选项时，我们可以通过考查符合条件的某个(或某些)特殊情形，并归纳猜想出一般性结论的选项，从而否定另一些结论的选项，轻松确定正确选项探究二 类比推理进行类比推理，关键是明确出两类事物在某些方面的类似特征，类比推理也是获得数学结论的一条重要途径，尤其在学习过程中，学习新知识，要充分联系以前学过的旧知识，具有共性的知识是一脉相承的，这其实就是类比推理在实践中的运用【典型例题 2】 已知椭圆具有性质：若 M，N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM
3、，PN 的斜率都存在，并记为 kPM，kPN时，那么 kPM与kPN之积是与点 P 的位置无关的定值试对双曲线1 写出具有类似特性的性质，并x2a2y2b2加以证明思路分析：充分运用类比推理可知在双曲线中 kPMkPN为定值，然后利用解析法证明即可解：类似的性质为：若 M1，N1是双曲线1 上关于原点对称的两个点，点 P1x2a2y2b2是双曲线上任意一点，当直线 P1M1，P1N1的斜率都存在，并记为 kP1M1，kP1N1时，那么kP1M1与 kP1N1之积是与点 P1的位置无关的定值设点 M1，P1的坐标为(m，n)，(x，y)，则 N1(m，n)因为点 M1(m，n)在已知的双曲线上，
4、所以 n2m2b2.b2a2同理，y2x2b2.b2a2则 kP1M1kP1N1(定值)ynxmynxmy2n2x2m2b2a2x2m2x2m2b2a2点评 在学习双曲线这节内容时，要注意与椭圆的知识进行类比，以便找出它们之间的共性探究三 推理的综合应用合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维rCDvV方法在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养当然对于结论正确与否，要进行严格证明才行【典型例题 3】 有一个雪花曲线序列，如图：
5、其产生规则是：将正三角形 P0的每一边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条线段，便得到第 1 条雪花曲线 P1；再将 P1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第 2 条雪花曲线 P2；把 Pn1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第 n 条雪花曲线 Pn(n1,2,3,4，)(1)设 P0的周长为 L0，求 Pn的周长；(2)设 P0的面积为 S0，求 Pn的面积解：(1)雪花曲线序列中，前后两条曲线之间的基本关系如下图所示，易得Ln Ln1，nN，43所以 Ln Ln1nL0，nN.43(43)(2)由雪花曲线的构造规则比较 P0和 P1，易得 P1是 P0
6、在每条边增加了一个小等边三角形，其面积为，而 P0有 3 条边，故有 S1S03S0.S032S032S03再比较 P2与 P1，可知 P2是 P1在每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而 P1有 34 条边，故有 S2S134S0.132S032S034S034S033qYf类似地，有 S3S2342S036S0，S034S03342S035故可猜想 SnS0S034S03342S03543S0374n1S032n1S0S0S0.131(49)n1498535(49)n探究四 易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象所迷惑从而导致类比结论的错误解决此类问题的
7、关键是先充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比【典型例题 4】 请用类比推理完成下表：平面空间三角形的面积等于任意一边的长度与该边上高的乘积的12三棱锥的体积等于任一底面的面积与该底面上高的乘积的13三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长乘积的12错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的 .13错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的 .12错因分析：错解一“三角形周长”的类比错误，错解二“ ”的类比错误三角形的周12长“abc”应类比为三棱锥各面面积的和“S1S2S3S4” ；“ ”应类比为“ ” 1213正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的 .13点评 进行类比推理时，需根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，我们可以从不同的角度出发确定类比对象，如围成几何体的几何元素的数目、位置关系等
