《数学人教b版必修3示范教案：2.3.2 两个变量的线性相关 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教b版必修3示范教案：2.3.2 两个变量的线性相关 word版含解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、ZuW示范教案示范教案整整体体设设计计教学分析 由于用具体的例子来解释线性回归容易理解，所以建议以实际例子引入，让学生用散 点图直观认识两个变量的相关关系，让学生尝试找到最佳的近似直线 值得注意的是：求回归直线方程，通常是用计算器来完成的，在很多函数型科学计算 器中，可通过直接按键得出线性回归方程的系数，教科书中给出了操作过程，而如果要用 一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格 三维目标 1经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，会建立线性回归方程 2能利用回归方程估计变量的值，提高学生解决问题的能力 3通过对数据的分析，增强学生的社会实践能力 重点难点 教学重点：会求线性回归方
2、程，并进行线性回归分析，体会最小二乘法的思想 教学难点：用最小二乘法求线性回归方程 课时安排 1 课时教学过程导入新课 思路思路 1.根据一组观测到的数据确定变量 x 与 y 之间是线性相关关系，如果 x 取一个值， 那么怎样估计变量 y 的值呢？教师点出课题 思路思路 2.如果散点图中各点在一条直线附近，那么这两个变量具有线性相关关系，那么 怎样求出这条直线方程呢？教师点出课题 推进新课 Error!Error!Error!Error!变量 x 与 y 的散点图如下图所示，如果近似成线性关系的话，请画出一条直线来近 似地表示这种线性关系同学们也可以自己尝试制定标准来画出近似直线，关键在于这一
3、标准是否合理，是 否能够得到最佳的近似直线(最优拟合直线) 怎样确定 a 与 b 呢？写出求回归直线方程的算法 讨论结果： 根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，比如可以连 接最左侧点和最右侧点得到一条直线(图 1)，或者让画出的直线上方的点和下方的点数目相 等(图 2)。 图 1 图 2 由图可见，所有数据点都分布在一条直线附近显然这样的直线还可以画出许多条， 而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映 x 与 Y 之间的关系换言之，我们要找出一 条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点记此直线方程为abxy这里在 y 的上方加记号“Y”，是为了区分 Y 的实际值 y，
4、表示当 x 取值xi(i1,2，6)时，Y 相应的观察值为 yi，而直线上对应于 xi的纵坐标是iabxi.式y叫做 Y 对 x 的回归直线方程，b 叫做回归系数，要确定回归直线方程，只要确定 a 与回 归系数 b. 下面我们来研究回归直线方程的求法，设 x，Y 的一组观察值为(xi，yi) i1,2，n，且回归直线方程为 abx.y当 x 取值 xi(i1,2，n)时，Y 的观察值为 yi，差 yii(i1,2，n)刻画了实际y观察值 yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，如下图所示我们希望这 n 个离差构成的总离差越小越好，才能使所找的直线很贴近已知点 一个自然的想法是把各个离差加起
5、来作为总离差可是，由于离差有正有负，直接相 加会相互抵消，这样就无法反映这些数据点的贴近程度，即这个总离差不能用 n 个离差之和(yii)来表示，通常是用离差的平方和，即n i1yQ(yiabxi)2n i1作为总离差，并使之达到最小这样，回归直线就是所有直线中 Q 取最小值的那一 条由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法 用最小二乘法求回归直线方程中的 a，b 有下面的公式：， ，其中 a，b 的上方加“y”，表示是由观察值按最小二乘法bn i1xiyinx yn i1x2 inx2aybx求得的估计值， 也叫回归系数， 求出后，回归直线方程就建立起来了ba
6、b算法： S1 列表：序号xYx2xy123 nS2 计算 ， 的值ab， ，bn i1xiyinx yn i1x2 inx2aybxS3 写出回归直线方程 x .yabError!Error!思路思路 1 例 1 某小卖部 6 天卖出热茶的杯数与当天气温之间是线性相关的数据如下表：温度 t/2618131041杯数 Y202434385064试用最小二乘法求出线性回归方程 解：解：从散点图中可以看出，表中的两个变量是线性相关的先列表求出 ， ，其他数据如下表x353y1153序号xYx2xy126206765202182432443231334169442410381003805450162
7、006164164合计702301 2861 910进而，可以求得 1.648， 57.557.b1 9106 35311531 2866 353353aybx于是，线性回归方程为 57.5571.648x.y点评：点评：利用 求得 的值，则有 ，所以求得的线性回归方程 x 必aybxaybxayba过点( ， )xy变式训练假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 Y(万元)有如下的统计资料：使用年限 x23456维修费用 Y2.23.85.56.57.0若由资料知 Y 对 x 呈线性相关关系试求回归直线方程分析：分析：因为 Y 对 x 呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问
8、题利用公式： b， 来计算回归系数有时为了方便常制表对应出 xiyi，x ，以利于求和n i1xiyinx yn i1x2 inx2aybx2 i解：解：制表：序号12345合计x2345620Y2.23.85.56.57.025xy4.411.422.032.542.0112.3x249162536904， 5，90，iyi112.3xyn i1x 2 in i1x于是有 1.23， 51.2340.08.b112.35 4 5905 4212.310aybx所以回归直线方程是 1.23x0.08.y例 2 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度 Y 与腐蚀时间 x 之间相应的一 组观
9、察值如下表：x/s5101520304050607090120Y/m610101316171923252946(1)画出表中数据的散点图； (2)求 Y 对 x 的回归直线方程；(结果保留到小数点后 3 位数字) (3)试预测腐蚀时间为 100 s 时腐蚀深度是多少 分析：分析：利用回归直线方程预测腐蚀时间为 100 s 时腐蚀深度 解：解：(1)散点图如下图(2)根据公式求腐蚀深度 Y 对腐蚀时间 x 的回归直线方程的步骤如下：.先把数据列成表序号xYx2xy156253021010100100315102251504201340026053016900480640171 600680750
10、192 500950860233 6001 380970254 9001 7501090298 1002 610111204614 4005 52051021436 75013 910.计算 ， 的值ab由上表分别计算 x，y 的平均数得 ， .代入公式得(注意：不必把 ， 化x51011y21411xy为小数，以减小误差)0.304 30.304b13 91011 510112141136 75011 5101120.304 35.346.a2141151011.写出回归直线方程 腐蚀深度 Y 对腐蚀时间 x 的回归直线方程为0.304x5.346.y这里的回归系数 0.304，它的意义是：
11、腐蚀时间 x 每增加一个单位(s)，深度 Y 平均b增加 0.304 个单位(m) (3)根据上面求得的回归直线方程，当腐蚀时间为 100 s 时，0.3041005.34635.86(m)，即腐蚀深度大约是 35.86 m.y点评：点评：利用回归直线方程可以对总体进行预测，值得注意的是得出的回归直线方程并 不是函数解析式.变式训练高三一班学生每周用于数学学习的时间 x(单位：h)与数学成绩 Y(单位：分)之间有如下数据：x/h24152319161120161713Y/分92799789644783687159某同学每周用于数学学习的时间为 18 小时，试预测该生数学成绩 分析：分析：两个有
12、相关关系的变量间的关系可以用线性回归方程来表示，对总体的预测可由回归直 线方程来解决解：解：利用计算器求得 3.53， 13.48，因此可求得回归直线方程为ba3.53x13.48，y当 x18 时， 3.531813.4877.y故该同学预计可得 77 分左右.思路思路 2 例 1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量 x15202530354045水稻产量 y330345365405445450455(1)画出上表的散点图； (2)求出回归直线的方程 解：解：(1)散点图如下图(2)计算得 4.75， 257.从而得回归直线方程是 2574.75x.bay变式训练一个车间为了规定
13、工时定额，需要确定加工零件所花费的时间为此进行了 10 次试验， 测得数据如下：零件 个数 x/个102030405060708090100加工 时间 Y/分626875818995102108115122请判断 Y 与 x 是否具有线性相关关系，如果 Y 与 x 具有线性相关关系，求线性回归方程 解：解：在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图.直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系由测得的数据表可知：0.668， 54.96.baybx因此，所求线性回归方程为 x 54.960.668x.yba2 设对变量 x，Y 有如下观察数据：x1511521531541561571581601
14、60162163164Y40414141.54242.5434445454645.5使用函数型计算器求 Y 对 x 的回归直线方程(结果保留到小数点后 3 位数字) 解：解：按键(进入线性回归计算状态)MODE 3 1(将计算器存储器设置成初始状态)SHIFT CLR 1 151 40 152 41 153 41 154 41.5 ，DT，DT，DT，DT156 42 157 42.5 158 43 160 44 ，DT，DT，DT，DT160 45 162 45 163 46 164 45.5 ，DT，DT，DT，DT继续按下表按键按键显示结果SVAR SHIFT1 27.75938967S
15、VAR SHITF2 0.449530516即 27.759， 0.450.ab所以 Y 对 x 的回归直线方程为 0.450x27.759.y点评：点评：利用计算器求回归直线方程非常方便. 变式训练下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.机动车 辆数 x/ 千台95110112120129135150180交通事 故数 Y/千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果不具有线性相关关系， 请说明理由； (2)如果具有线性相关关系，求出线性回归方程 解：解：(1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系(2)计算得 0.077 4， 1.024 1，ba所以，所求线性回归方程为 1.024 10.077 4x.yError!Error!1已知 10
