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1、专业数学（下）课件 （适合工大班）,西飞工学院高级工程师冯建军,第八章 多元函数微分法及其应用,开 始,退出,第一节 多元函数的基本概念,返 回,第二节 偏导数,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 微分法在几何上的应用,第八节 多元函数的极值及其求法,第七节 方向导数与梯度,第三节 全微分,总习题,返 回,一.区域,四.多元函数的连续性,三.多元函数的极限,二.多元函数概念,第一节 多元函数的基本概念,习题,第一节 多元函数的基本概念一、区域1.邻域设 是xOy平面上的一个点，是某一正数.与点 距离小于的点 的全体称为 的邻域，记为 ，即也就是,返 回,下一页,2
2、.区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点P的某一邻域 使 ， 则称P为E的内点(图8-1).如果点集E的点都是内点，则称E为开集.如果点P的任一邻域内既有属P 于E的点，也有不属于E的点，E 则称P为E的边界点（图8-2）.设D是开集.如果对于D内的图 8-1 任何两点，都可用折线连结起,下一页,上一页,返 回,来,而且该折线上的点都属于D, P 则称开集D是连通的.连通的开集称为区域或开区域.E 开区域连同它的边界一起,称为闭区域. 图 8-23.n维空间设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组的全体为n维空间,而每个有序n元数组 称为n维空间中的一个点,数 称,返 回
3、,下一页,上一页,为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n维空间中两点 及 间的距离规定为,返 回,下一页,上一页,二、多元函数概念定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于每个点P=(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数(或点P的函数),记为点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z,例题,返 回,下一页,上一页,也称为因变量,数集称为该函数的值域.把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D.则可类似的定义n元函数 .当n=1时，n元函数就是一元函数.当n2时n元函数统称为多元函数.,返 回,下一页,上一页,二元函数的几何图像,三、多元函数的极限
4、二元函数 当 , ,即时的极限. 这里 表示点 以任何方式趋于 ，也就 是点 与点 间的距离趋于零，即定义2 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）内有定义， 是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式,返 回,下一页,上一页,的一切点P(x,y)D，都有成立，则称常A为函数f(x,y)当 ， 时的极限，记作或 这里 .,例题,返 回,下一页,上一页,四、多元函数的连续性定义3 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义， 是D的内点或边界点且 . 如果则称函数f(x,y)在点 连续.若函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)的间短点.函数,返
5、 回,下一页,上一页,当x0,y0时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点.函数在圆周 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线.性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值.在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大值而 为最小值，即对于一切PD，有,返 回,下一页,上一页,性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。如果是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=.*性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上
6、的多元连续函数必定在D上一致连续.若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于D上的,返 回,下一页,上一页,任意二点 ，只要当 时，都有成立.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点函数值，即,例题,返 回,上一页,练习题,练习题答案,一.偏导数的定义及其计算方法,二.高阶偏导数,第二节 偏导数,习题,返 回,一、偏导数的定义及其计算方法定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当y固定在 而x固定在 处有增量x 时，相应地函数有增量如果（1）存在，则称此极限为
7、函数 在点处对x的偏导数 ，记作,返 回,下一页,例如，极限(1)可以表示为(2)类似地,函数 在点 对y的偏导数定义为,返 回,下一页,上一页,(3)记作如果函数 在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 x、y函数,它就称为函数 对自变量x的偏导函数，记作,返 回,下一页,上一页,类似的，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作求 时只要把y暂时看作常量对x求导数；求 时只要把暂x时看作常量对y求导数.,例题,返 回,下一页,上一页,图 8-6,返 回,下一页,上一页,二、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数那么在D内 都是x,y的函
8、数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的 不同下列四个二阶偏导数：,返 回,下一页,上一页,二元函数z=f(x,y)在点 的偏导数有下述几何意义.设 为曲面z=f(x,y)上的一点,过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ,则导数，即偏导数 ,就是这曲线在点 处的切线 对x轴的斜率(见图8-6).同样偏导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线对y轴的斜率.,返 回,下一页,上一页,其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理 如
9、果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数 及 在D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.,例题,例题,返 回,上一页,第三节 全微分及其应用,习题,下一页,返 回,第三节 全微分及其应用二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率.上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分.设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，并设 为这邻域内的任意一,下一页,上一页,返 回,点，则称这两点的函数值之差 为函数在点P对应于自变量增量x、y的全增量，记作z，即定义 如果函数z=f(x,y)在点(
10、x,y)的全增量(1) 可表示为,下一页,上一页,返 回,其中A、B不依赖于x、y而仅与x,y有关，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而 称为函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分，记作dz,即(2) 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分.下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条件.定理1(必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点,下一页,上一页,返 回,(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为(3)证 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是对于点P的某个邻域内的任意点
11、，(2)式总成立.特别当 时(2)式也应成立，这时 ，所以(2)式成为,下一页,上一页,返 回,上式两边各除以 ，再令 而极限，就得从而，偏导数 存在，而且等于A.同样可证=B.所以三式成立.证毕.,下一页,上一页,返 回,定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数在(x,y)连续，则函数在该点可微分.证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思.设点 为这邻域内任意一点，考察函数的全增量,下一页,上一页,返 回,在第一个方括号内的表达式，由于y+y不变，因而可以看作是x的一元函数 的
12、增量.于是应用拉格郎日中值定理，得到 又依假设， 在点 连续，所以上式可写为,下一页,上一页,返 回,(4)其中 为x、y的函数，且当 时， .同理可证第二个方括号内的表达式可写为(5)其中 为y的函数，且当 时， .由(4)、(5)两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z可以表示为,下一页,上一页,返 回,容易看出它就是随着 即 而趋于零的.这就证明了z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的.,例题,上一页,返 回,一.空间曲线的切线与法平面,二.曲面的切平面与法线,第六节 微分法在几何上的应用,返 回,习题,一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程(1) 这里假定(1)式的三个函数
13、都可导.在曲线上取对应与 的一点 及对应于 的邻近一点.根据解析几何， 曲线的割线 的方程是,返 回,下一页,当 沿着趋于 ，时割线 的极限位 置 就是曲线在点 处的切线(图8-7). 用t除上式的各分母，得令 (这t0)，通过对上式取极限，即得图 8-7 曲线在点 处的切线方程,返 回,下一页,上一页,这里当要假定 都不能为 零.切线的方向向量称为曲线的切向量.向量就是曲线通过在点 处的一个切向量.点通过 而与切线垂直的平面称为曲线在,返 回,下一页,上一页,点 处的法平面，它是通过点 而 以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为,返 回,下一页,上一页,二、曲面的切平面与法线 我们先讨论由
14、隐式给出曲面方程的情形，然后把显式给出的曲面方程z=f(x,y) 作为它的特殊情形.设曲面由方程(9)给出， 是曲 面上的一点，并设函数 的偏导数 在该点连续且不同时为零.在曲线上，通过点 M引一条曲线(图8-8)，假定曲线的参数方 程为,返 回,下一页,上一页,程为(10)对应于点 且 ， 不全为 零，则由(2)式可得这 曲线的切线方程为图 8-8,返 回,下一页,上一页,引入向量 则表示(10)在点M处的切向量,返 回,下一页,上一页,与向量n垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点M的 任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一个向 量n垂直，所以曲面上通过点M的一切曲线在点M 的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面 在点M的切平面.这切平面的方程是(12)通过点 而垂直于切平面(12)的 直线称为曲面在该点的法线.法线方程是,
