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1、概率论与数理统计,-考研春季基础班,主讲：朱祥和,第4.1节 数学期望,1.定义:(离散型)设离散型随机变量X的分布律为Px=xn=pn,n=1,2,., 若级数 绝对收敛,则称该级数的值为X的数学期望或均值,记为,EX=,若,非绝对收敛,即级数,发散,则称X的数学期望不存在.,均值,例如:,则,EX=,=-10.2+00.1+10.4+20.3=0.8,注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.,例4.1.1.某种电子元件使用寿命X,规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时 之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品,产值
2、为 30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值.,分析:平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布.,解:设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40,PY=0=,PX500,=1-e-0.5,PY=10 =,P500X0,EY=,=aEX,令,3.随机变量函数的数学期望:,定理4.1.1:设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X)存在,则; (1)若X为离散型,PX=xn=pn,n=1,2,.,有,(2)若X为连续型随机变量,Xf(x),则,例4.1.2.设随机变量X的概率分布为,求E(X2+2).,(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/
3、4,=1+3/4+6/4=13/4,解: E(X2+2)=,思考:,例4.1.3 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早8 点的第X分钟到达底层侯机处，且 X在0，60上均匀分布，求该游客等侯时间的数学期望。,解:由题意得:X,设Y表示旅客候车时间,则,Y=g(X)=,0X5, 5X25, 25X55, 55和 B=Y独立,且P(A+B)=3/4.求常数； 求E(1/X2).,解:(1)由已知得:P(A)=P(B), A, B独立, 所以,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-P(A)2=3/4 故P(
4、A)=1/2,0a=,=1/2,所以,(2)E(1/X2)=,例4.1.7.设一部机器在一天内发生故障的 概率 为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障可获利润 0元；发生三次或三次已上故障就要亏损 2万元。求一周内期望利润是多少？,解:设X表示一周5天内发生故障的天数,Y表所获利润,则,XB(5,0.2),Y=g(X)=,X=0 X=1 X=2 X3,10 5 0 -2,PX=0=0.85=0.328 PX=1=50.20.84=0.410 PX=2=50.220.83=0.025 PX3=1-0.328-0
5、.410-0.025=0.057,所以,EY=5.216(万元),即,定理4.1.2 设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,Eg(X,Y)存在,(1)若(X,Y)为离散型随机向量,PX=xi,Y=yj=pij ,(i,j=1,2),则,(2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)f(x,y),则,例4.1.8.随机变量(X,Y)f(x,y)=,求EX,EY,E(X2),E(XY),解:应用定理4.1.2:,=7/6,=5/3,同理由对称性:,=7/6,EY2=5/3,=4/3,思考 设随机变量 的联合概率密度为,试计算 和 。,由定义，,解,4.几种重要的离散型分布的数学期望,(1)、参数为
6、p的0-1分布:,EX=p；,(2)、二项分布,EX=np,(3)、.Possion分布,概率分布为,EX= ,几个重要r.v.的期望,1.0-1分布的数学期望,2. 二项分布B(n, p),3.泊松分布,（1） 均匀分布,5.几种重要的连续型分布的数字特征,称随机变量X服从a，b的均匀分布,记为 XU(a,b),若,EX=,（2） 指数分布,称 r.v.X服从参数为的指数分布,记为XP() (0),若,EX=,证明:,EX=,(分部积分法),注意:,指数分布常用作各种“寿命”的近似分布.,（3） 正态分布,EX= ，,1).一般正态分布,X N(,2),XN(0,1),2).标准正态分布,E
7、X=0,特别,若X1,X2, .Xn独立同正态分布N(,2) ,记:,则,正态分布N(, 2),第4.2.节 方差,(1)定义(离差):设X为随机变量,EX存在,称X-EX为离差;,显然,E(X-EX)=0.,定义(方差):设X为随机变量,EX存在,且E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2为X的方差,记为:,DX= E(X-EX)2,特别,记,x=,为X的标准差(或均方差).,注意:,方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.,结合随机变量函数的数学期望可得:,(1)若PX=xn=pn,n=1,2,., 则,DX= E(X-EX)2,(2)若X为连续型,Xf(x), 则,DX= E(X-EX
8、)2,方差的性质:,(1)D(c)=0; (2)D(aX)=a2D(X) (3)D(X+b)=DX (4)DX=EX2-(EX)2,证明:(2)D(aX)=EaX -E(aX)2,=Ea(X-EX)2,=a2E(X-EX)2,=a2D(X),(4),DX= E(X-EX)2,=EX2-2X(EX)+(EX)2,=EX2-E2X(EX)+E(EX)2,=EX2-2(EX)(EX)+(EX)2,=EX2-(EX)2,EX2 = DX +(EX)2,(常用于计算方差),(注:EX是常数),若X与Y相互独立,则D(X+Y)=DX+DY,(6) D(X)=0,PX=E(X)=1,例4.2.1.设X,求E
9、X,DX.,解:(1)EX=,=1,(2)E(X2)=,=7/6,所以,DX=EX2-(EX)2,=7/6-1=1/6,例4.2.2 设X是一随机变量，E(X)=，D(X)=2(,0常数)，则对任意常数C，必有（ ）。,解:,E(X-C)2=EX2-2CX+C2,=EX2-E(2CX)+C2 =EX2-2C E( X)+C2 =(EX)2+DX -2C E( X)+C2 =2+ 2-2C+C2,= 2+(-C)2,而,E(X- )2=,E(X-EX)2,=DX=,所以,(4)正确.,0-1分布的方差,分布律,方差,其中,常见分布的方差,二项分布的方差,分布律,方差,X B ( n, p ),推
10、导？,方法二 引入随机变量,相互独立，,故,泊松分布的方差,分布律,方差,推导？,均匀分布的方差,分布密度,方差,指数分布的方差,分布密度,方差,正态分布的方差,分布密度,方差,常见分布及其期望和方差列表P84,分布名称 数学期望E（X） 方差D（X）,0-1分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布,例4.2.3 已知随机变量X服从二项分布，且E（X）= 2.4, D(X)=1.44, 则二项分布的参数n,p的值为（ ） n=4,p=0.6 n=6, p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p=0.1,例4.2.4 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每 次射中目标的概
11、率为0.4,则X2的数学期望E（X2）=( ),18.4,求EX和DX.,例4.2.6 设X的密度 函数为,解得:EX=1,DX=2=1/2,例4.2.5 已知离散型随机变量 X服从参数 为2的泊松Poisson分布，则随机变量 Z=3X-2的数学期望E（Z）=（ ）。,4,解：EZ=3EX-2=4,第4.3节 协方差及相关系数,1.定义 设两个随机变量X,Y的期望,方差存在，则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY) 为X和Y的协方差。,2.性质 cov(X,Y)=EXY-EXEY cov(X,Y)=cov(Y,X) cov(aX,bY)=abcov(X,Y) cov(Z,aX+bY
12、)=acov(Z,X)+bcov(Z,Y) 若X与Y独立，则cov(X,Y)=0 cov(X,X)=DX D(aX+bY )=a2DX+b2DY+2abcov(X,Y)特别 D(XY)=DX+DY2cov(X,Y),一、协方差,3.计算,(1)若(X,Y)为离散型随机向量,PX=xi,Y=yj=pij ,(i,j=1,2),则,(2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)f(x,y),则,注意,(1)以上公式是在(X,Y)的联合分布已知情况下应用; (2)一般地,常用计算方法为:cov(X,Y)=E(XY)-EXEY 其中,EX,EY, EXY由定理计算.,练习:,1.X,Y独立,DX=6,DY=3,则D(2X-Y)=( ). 2.XN(3,1),YN(2,4),X,Y独立,则X-2Y+1( ). 3.XP(2),YN(-2,4),X,Y独立,Z=X-Y,则EZ=( );若X,Y独立,则EZ2=( ).,
