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1、- - 1 - -立体几何基础题题库(有详细答案)立体几何基础题题库(有详细答案)1、二面角是直二面角,设直线与所成的角分别为1 和2,则lBA,AB、(A)1+2=900 (B)1+2900 (C)1+2900 (D)1+2900解析:解析:C 2 1BA 如图所示作辅助线,分别作两条与二面角的交线垂直的线,则1 和 2 分别为直线 AB 与平面所成的角。根据最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平, 面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO 1902190ABO 2. 下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的一个 图是PPP PQQQ
2、QRRRRSSSSPPP PQQQQRRRRSSSSPPP PQQQQRRRRSSSSPPP PQQQQRRRRSSSS(A) (B) (C) (D)D解析:解析: A 项:底面对应的中线,中线平行 QS,PQRS 是个梯形PS AB 项: 如图SRQPCDCDBBAAC 项:是个平行四边形- - 2 - -D 项:是异面直线。3. 有三个平面,下列命题中正确的是(A)若,两两相交,则有三条交线 (B)若,则(C)若,=a,=b,则 ab (D)若,=,则 =D解析:解析:A 项:如正方体的一个角,三个平面相交,只有一条交线。B 项:如正方体的一个角,三个平面互相垂直,却两两相交。C 项:如图
3、4. 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1的侧面 AB1内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1的距 离相等,则动点 P 所在曲线的形状为ABPA1B1OABPA1B1ABPA1B1OABPA1B1OABCDPA1B1C1D1C解析:解析:平面 AB1,如图:P CDCDBBAAP 点到定点 B 的距离与到定直线 AB 的11BC 11,BCPB 距离相等,建立坐标系画图时可以以点 B1B 的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中与 AD1成 600角的面对角线的条数是(A)4 条 (B)6 条 (C)8 条 (D)10 条C- - 3 - -解析:解析
4、:如图DCCDBBAA这样的直线有 4 条,另外,这样的DCCDBBAA 直线也有 4 条, 共 8 条。6. 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足,则BCD0 ACAB0 ADAC0 ADAB 是(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定C解析:解析:假设 AB 为 a,AD 为 b,AC 为 c,且则,BD=,CD=,BC=abc22ab22cb如图cbaDCBA则 BD 为最长边,根据余弦定理22ac最大角为锐角。所以 2222222222222cos0 2accbab DCB accb DCBBCD 是锐角三角形。7.设 a、b 是两条不同的直线,、
5、是两个不同的平面,则下列四个命题( )若若/,baba则aa则,/,aa则则若,baba其中正确的命题的个数是( )A0 个B1 个C2 个D3 个B 解析:解析:注意中 b 可能在 上;中 a 可能在 上;中 b/,或均有,b故只有一个正确命题- - 4 - -8.如图所示,已知正四棱锥 SABCD 侧棱长为,底2面边长为,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC3所成角的大小为 ( )A90B60C45D30B 解析:解析:平移 SC 到,运用余弦定理可算得BS. 2BSESBE9. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: M、N 都垂直于平面 Q; M、N 都平行于平面 Q;
6、M 内不共线的三点到 N 的距离相等; l, M 内的两条直线, 且 l / M, m / N; l, m 是异面直线,且 l / M, m / M; l / N, m / N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的个数是( )A1B2C3D4只有、能判定 M/N,选 B10. 已知正三棱柱 ABCA1B1C1中,A1BCB1,则 A1B 与 AC1所成的角为(A)450 (B)600(C)900 (D)1200C 解析:解析:作 CDAB 于 D,作 C1D1A1B1于 D1,连 B1D、AD1,易知 ADB1D1是平行四边形,由三 垂线定理得 A1BAC1,选 C。1 1唱 唱唱 唱
7、- - 5 - -11.11. 正四面体棱长为 1,其外接球的表面积为A.B. C. D.3323 25解析:解析:正四面体的中心到底面的距离为高的 1/4。 (可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题:甲:相交直线 、m 都在平面 内,并且都不在平面 内;乙:直线 、mll 中至少有一条与平面 相交;丙:平面 与平面 相交当甲成立时,A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析:解析:当甲成立,即“相交直线 、m 都在平面 内,并且都不在平面 内”时,若“ 、m 中至ll 少有一条与平面 相交” ,则“平面
8、与平面 相交 ”成立;若“平面 与平面 相交” ,则“ 、m 中至少有一条与平面 相交”也成立选(C) l13. 已知直线 m、n 及平面,其中 mn,那么在平面内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可 能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集其中正确的是解析:解析:(1)成立,如 m、n 都在平面内,则其对称轴符合条件;(2)成立,m、n 在平面的同一侧, 且它们到的距离相等,则平面为所求, (4)成立,当 m、n 所在的平面与平面垂直时,平面 内不存在到 m、n 距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为( )A3B1
9、或 2C1 或 3D2 或 3解析:解析:C 如三棱柱的三个侧面。15若为异面直线,直线 ca,则 c 与 b 的位置关系是( )ba、A相交B异面C平行 D 异面或相交解析:解析:D 如正方体的棱长。16在正方体 A1B1C1D1ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小为( )- - 6 - -AB6 4CD3 2解析:解析:DB1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直,根据三垂线定理可得。17如图,点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是( )解析:解析:C A,B 选项中的图形是平行四边形,而 D 选项中
10、可见图:SRQPCDCDBBAA18如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其上的三个点,则在正方体盒子 中,ABC 等于( )A45 B60C90 D120解析:解析:B 如图CBA右图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:AB 与 CD 所在直线垂直;CD 与 EF 所在直线平行- - 7 - -AB 与 MN 所在直线成 60角;MN 与 EF 所在直线异面其中正确命题的序号是( )ABCD解析:解析:DNMFEDCBA19线段OA,OB,OC不共面,AOB=BOC=COA=60 ,OA=1,OB=2,OC=3,则ABC是( )A等边三角形B 非等边的等腰三角形C
11、锐角三角形D钝角三角形解析:解析:B 设 AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知:x2=12+32-3=7,y2=12+22-2=3,z2=22+32-6=7。 ABC是不等边的等腰三角形,选(B) 2020若a,b,l是两两异面的直线,a与b所成的角是,l与a、l与b所成的角都是,3则的取值范围是( )ABCD65,6 2,3 65,3 2,6解析:解析:D解 当l与异面直线a,b所成角的平分线平行或重合时,a取得最小值,当l与a、b的公垂线平6- - 8 - -行时,a取得最大值,故选(D) 221.21.小明想利用树影测树高,他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m,但当他马
12、上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的影高 1.2m, 求树高的高度(太阳光线可看作为平行光线)_.42 米解析:解析:树高为 AB,影长为 BE,CD 为树留在墙上的影高,CE=米,树影长1.21,0.9CD CECE1.08BE=米,树高2.7 1.083.78AB=1 0.9 BE=米。4.222如图,正四面体ABCD (空间四边形的四条边长及两对 角线的长都相等)中,分,E F别是棱的中点, 则,AD BC和所成的角的大小是_.EFAC解析:解析:设各棱长为 2,则 EF=,取 AB 的中
13、点为 M,22cos.2MFE即.423OX,OY,OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直 线,点 P 到这三条直线的距离分别为 3,4,7,则 OP 长 为_.解析:解析:在长方体 OXAYZBPC 中,OX、OY、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又ABCDEFABEDC- - 9 - -PZOZ,PYOY,PXOX,有 OX2+OZ2=49,OY2=OX2=9, OY2+OZ2=16,得 OX2+OY2+OZ2=37,OP=3724设直线a上有 6 个点,直线b上有 9 个点,则这 15 个点,能确定_个不同的平面.解析:解析: 当直线 a,b 共面时,可确定一个平面; 当直
14、线 a,b 异面时,直线 a 与 b 上 9 个点可确 定 9 个不同平面,直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面,所以一点可以确定 15 个不同的平 面25. 在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点求证:EF 和 AD 为异面直线.解析:解析:假设 EF 和 AD 在同一平面内,(2 分) ,则 A,B,E,F;(4 分)又 A,EAB,AB,B,(6 分)同理 C(8 分)故 A,B,C,D,这与 ABCD 是空间四边形矛盾。EF 和 AD 为异面直线26. 在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CB,CD 的中点,若 AC + BD = a ,AC BD =b,求.22EGFH解析:解析:四边形 EFGH 是平行四边形,(