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1、第四章 恒定电流的电场和磁场,4.1 恒定电流的电场 4.2 恒定电场与静电场的比拟 4.3 恒定磁场的基本方程 4.4 恒定磁场的矢量磁位 4.5 介质中的磁场 4.6 恒定磁场的边界条件 4.7 电感的计算4.8 恒定磁场的能量和力,4.1 恒定电流的电场,图 4-1 导体中的恒定电流,4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律,它的定义是: 单位时间内通过导体任一横截面的电荷量, 数学表示式为,所以恒定电流的电流强度定义为,上式中Q是在时间t内流过导体任一横截面的电荷, I是常量。电流强度的单位为(A=C/s)。,图 4-2 电流密度矢量,式中J是体传导电流密度, 单位为A/m2。如果所取
2、的面积元的法线方向 与电流方向不平行, 而成任意角, 如图4-2(b)所示, 则通过该面积的电流是,所以通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系是,1.欧姆定律的微分形式由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和导体两端的电压成正比, 这就是欧姆定律,式中R称为导体的电阻, 单位为, 表示式为,或,上式中, l为导体长度; S为导体横截面; 称为导体的电导率, 它由导体的材料决定, 单位为1/m=S/m。,表 4-1 几种材料在常温下的电阻率和电导率,图 4-3 推导欧姆定律微分形式,所以J=E。在各向同性媒质中, 电流密度矢量J和电场强度E方向一致, 都是正电荷运动
3、方向, 故有,运流电流不服从欧姆定律, 所谓运流电流, 是指电荷在真空或气体中由于电场的作用而运动时形成的电流。其电流密度是,式中v(C/m3)为某点的电荷密度, v为该点电荷运动速度。,2. 焦耳定律的微分形式,一般通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电场对电荷所作之功, 即功率是,图4-3中, 微小圆柱体的体积元为V=Sl, 它的热损耗功率是,当V0, 取P/V的极限就是导体中任一点的热功率密度, 它是单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量, 单位是W/m。表示式是,或,上式就是焦耳定律的微分形式。它在恒定电流和时变电流的情况下都成立, 但对运流电流不适用,
4、因为运流电流中电场力对电荷所作的功不变成热量, 而变成电荷的功能。,4.1.2 恒定电场的基本方程,1.电流连续性方程, 恒定电场的散度,图 4-4 电流的连续性,根据电荷守恒原理, 单位时间内由闭合面S流出的电荷应等于单位时间内S面内电荷的减少量。因而得,然而, 在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间变化,故dQ/dt=0所以得,恒定电流连续性方程的微分形式,如果导体的导电性能均匀, 是常数, 则得,根据高斯定理,上式说明导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场是由表面上的电荷
5、产生的。,在均匀导体内部,2. 恒定电场的旋度,因为在导体内部电荷量保持恒定, 电场分布也为恒定, 所以恒定电场与静电场相同也遵循守恒定理, 所以,由斯托克斯定理, 从式(4-16)可得,(4-16),所以恒定电场也是位场。,恒定电场这个特性只在电源外的导体中满足。在电源内部, 不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 因此不满足守恒定理。,在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为#;微分形式,积分形式,媒质特性, 即欧姆定律的微分形式为,由于E=0, 故电场强度与电位的关系满足E=- 。在载有恒定电流的均匀导体内部(即为常数), 可得,所以电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方程。,4
6、.1.3 恒定电场的边界条件,1. 两种导电媒质的边界,图 4-5 恒定电场不同媒质分界面,所以,又由Jn=En和E=-, 式(4-19)可表示为,(4-19),(4-20),根据式(4-16), 仿第二章节在交界面上取一扁矩形闭合路径, 即可得,所以,此式说明分界面上电场强度的切向分量连续。,又因为Jt=Et, 并应用第三章推导电位边界条件的方法可得,上两式相除得,此式表明分界面上电流线和电力线发生曲折。,当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为0)的分界面上, 根据D1n-D2n=s, 则得,式
7、中s是分界面上自由电荷面密度。将式(4-20)代入上式得,可见, 只要12, 分界面上必定有一层自由电荷密度。如果导电媒质不均匀, 即使在同一媒质中也会有体电荷的积聚。,(4-26),2. 两种导电媒质的电导率12,当一种导电媒质为不良导体(10, 但很小), 另一种导电媒质为良导体(2很大), 如同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成, 而填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏电导存在。例如, 聚乙烯的电导率为10-10数量级, 由式(4-26)得,3. 第一种媒质为理想介质, 第二种媒质为导体,图 4-6 理想介质与导体交界面的电场强度,由上式可
8、知E1不垂直导体表面, 那么导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于2有限, 导体中沿电流方向存在电场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场与静电场有根本的区别。然而2越大, E2t和E1t越小, 1也越小, 直至2=时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。,例 4.1 设直径为2mm的导线, 每100 m长的电阻为1 , 当导线中通过电流20 A时, 试求导线中的电场强度。如果导线中除有上述电流通过外, 导线表面还均匀分布着面电荷密度为s=510-12(C/m2)的电荷, 导线周围的介质为空
9、气, 试求导线表面上的场强大小和方向。,图 4-7 导线表面的电场,解 (1) 在导体内部只存在Et, 如图4-7所示。,(2) 因为在导体表面存在恒定电荷, 所以产生的场强是,V/m,导体表面上总的场强为,电场强度与导体表面的夹角为,V/m,V/m,例 4.2 设有一同心金属球, 内外球体之间均匀充满二层电导率分别为1和2的导电媒质, 1、2远小于金属球的电导率。 12, 为常数。导体球及导电媒质的半径如图4-8所示。内外球间加有直流电压U0, 极性如图。试求两区域中恒定电场的电流、 电流密度、电场强度及电位的分布。,图 4-8 同心金属球,解法1: 设流过两区域的任一同心球面的电流为I。
10、则两区域中任一点的电流密度为,导电媒质和导电媒质中的电场强度分别为,故得,将I分别代入J、E1和E2的表示式, 即得到两个区域中的电流密度和电场强度。如果取外金属球为电位参考点, 则区域(arc)中任一点的电位是,区域(crb)中任一点的电位是,解法2: 根据恒定电场电位方程求解。 (1) 方程与解的形式: 由球对称性, 仅是r的函数, 得,arc,crb,所以,(2) 由边界条件确定常数:,联立求解上述四个方程得,所以得,所得结果与解法1中完全相同。,例 4.3 一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外导体间填充一种介电常数为、电导率为的电介质材料, 如图4-9。试计算同轴电缆单
11、位长度的绝缘电阻R1。,图 4-9 同轴电缆的横截面,解法1:,用公式(4-6 b), , 式中dl为沿电流方向的长度元, 如图4-9所示, S是垂直于电流方向的面积, 它可能是坐标变量的函数, 所以,解法2: 由两极间电位差, 可根据拉普拉斯方程, 先求电位, 再由E=-, J=E, I=S Jds求得电流强度I与两极间电位差U的关系, 则绝缘电阻R1=U/I。当电极有某种对称关系时, 可以先假设由一个电极通过绝缘材料到另一个电极的电流为I, 再由J=I/S, E=J/, U=l Edl, 求得两极间的电位差与电流的关系, 也同样可以求得绝缘电阻。应用上述方法, 假设同轴电缆内外导体间加一直
12、流电压U, 并考虑轴对称, 故沿径向流过同一圆柱面的漏电流密度相等, 是,所以,内外导体间电压,则单位长度绝缘电阻是,(/m),解法3: 根据静电比拟法(见4.2), 由例3.14中同轴线单位长度电容的表示式, 按式(4-30)求得,所以,例 4.4 设一扇形电阻片的尺寸如图4-10所示, 材料的电导率为, 试计算A、B面之间的电阻。,图 4-10 扇形电阻片,解法1: 设A板电位为U0, B板电位为零。A、B板间的电位满足拉普拉斯方程, 并由对称性, 只是的函数, 故,其通解为=C1+C2, 根据边界条件, =0, =0 得C2=0; =, =U0, 得C1=U0/, 则,电场强度:,电流密
13、度:,A板流向B板的电流:,所以,(),例 4.5 试计算如图4-11所示的深埋在地下的铜球的接地电阻, 设铜球的半径为a。,图 4-11 计算接地电阻,解:,大地中任一点的电流密度为,电场强度为,铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处),所以接地电阻是,式中是土壤的电导率。,4.2 恒定电场与静电场的比拟,表 4-2 恒定电场与静电场比较,例如两导体电极间的电容为,(F),两导体电极间的电导为,(S),且,例4.6 设例4-2中同心金属球内外导体间填充二层介电常数分别为1和2的无耗电介质, 而几何尺寸及所加电压均不变。(1) 试用静电比拟法求两区域中的电通密度、 电场强度以及电位的分布;
14、(2) 采用静电场方法求出两区域的D、E、分布, 并加以验证。解 (1) 根据表4-2, 恒定电场与静电场中, 只要两电极的几何形状、尺寸及边界条件不变, 则两种场的对应量可以相互置换, 所以直接得到,(2) 采用静电场方法求解时, 首先设内、外金属球带电量分别为+Q和-Q, 根据球对称性, 并且电介质均匀, 故电通密度矢量仅在径向; 又由边界条件D1r=D2r|r=c, 所以区域 1 及区域 2 的D相等。 根据高斯定理可得,所以,取外金属球为电位参考点, 则两个区域的电位分别是,arc,crb,将Q分别代入D、E1、E2、1、2 的表示式, 得到的解与(1)中的解完全相同。,4.3 恒定磁
15、场的基本方程,4.3.1 真空中恒定磁场的旋度, 安培环路定律,安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间的依赖关系。安培根据毕奥萨伐定律总结出磁感应强度与电流的一般规律: 真空中磁感应强度沿闭合路径的线积分等于该闭合路径包围电流的代数和乘以0, 取与回路成右螺旋关系的电流为正, 反之为负。 数学表示式为,(4-31),图 4-12 闭合回路包围的电流,见图4-12, 电流的代数和,如果电流流过闭合路径所包围的面, 则式(4-31)可改写为,上式中S是由闭合路径包围的任一曲面, J为体电流面密度。,所以,例 4.7 设有两根距离为d的无限长平行细线, 通有大小相等、 方向相反的电流I, 其横截面及电流方向如图4-13所示。试应用安培环路定律计算该平行双线的磁感应强度B。,图 4-13 平行双导线B的计算,解 因为双导线无限长, 磁场沿导线方向不变, 所以在任一个垂直于双导线平面上的磁场分布均相同。 图中xoy平面垂直于双导线, Z轴与导线平行, 我们只需计算xoy平面上任一点P(x, y, o)的磁通密度B.对于单根导线, 由轴对称性, 相等的圆柱面上B相等。,则导线 1 和 2 上的电流在P点产生的磁感应强度是,式中,其中 分别是P点到导线1和2的垂直距离。,B只有x和y分量, 且不是z的函数, 磁感应线都在垂直于双导线的平面上, 所以称为平行平面场。当y=0时,
