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1、 用爱去感化，用专业去打 动1章 2 章 有理数及其运算有理数及其运算第一第一讲讲 正数、正数、负负、 、0【引入】欧洲人的盲目欧洲人的盲目：古代印度人创造了阿拉伯数字后.大约到了公元 7 世纪的时候.这些数字传到了阿拉伯地区.来.这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲.欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的.所以便把这些数字叫做阿拉伯数字.以后.这些数字又从欧洲传到世界各国. 刘徽的先刘徽的先见见与德与德 摩根的固摩根的固执执： ：1、1831 年英国数学家德 摩根认为负数是“虚构”的，他还特意举了一个“特例”来说明他的观点：“父亲 56 岁，他儿子 29 岁，问什么时候父亲的岁数将是儿子的两倍
2、？”，通过列方程解得 x=2，他认为这个结果是荒唐的，他不懂得 x=2 正是说明两年前父亲的岁数将是儿子的两倍。2、你看过电视或听过广播中的天气预报吗？中国地形图上的温度阅读。（可让学生模拟预报)请大家来当小小气象员，记录温度计所示的气温 25C，10C，零下 10C，零下30C。为书写方便，将测量气温写成 25，10，10，30。3、最早的负教定义 三国时期著名数学家刘徽在负数概念的建立上贡献最大.刘徽第一次给出了正负数的定义,他说:“今两算得失相反,要令正负以名之意思就是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分它们。【讲解】1相反意相反意义义的量的量：在日常生活中，常会遇
3、到这样一些量（事情）：例 1：汽车向东行驶 3 千米和向西行驶 2 千米。例 2：温度是零上 10和零下 5。例 3：收入 500 元和支出 237 元。例 4：水位升高 1.2 米和下降 0.7 米。例 5：买进 100 辆自行车和买出 20 辆自行车。试着让学生考虑这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？（具有相反意义。向向东东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、买进买进和和卖卖出出都具有相反意义）2正数和正数和负负数：数：能用我们已经学的来很好的表示这些相反意义的量吗？例如，零上 5用 5 来表示，零下 5呢？也用 5 来表示，行吗？
4、说明：在天气预报图中，零下 5是用5来表示的。一般地，对于具有相反意义的用爱去感化，用专业去打 动2量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学的数（零除外）前面放一个“”（读作“负”）号来表示。拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上 10就用 10表示，零下 5则用5来表示。怎样表示具有相反意义的量？能否从天气预报出现的标记中，得到一些启发呢？在例 1 中，我们如果规定向东为正，那么向西为负。汽车向东行驶 3 千米记作 3 千米，向西 2 千米应记作2 千米。在以上的讨论中，出现了哪些新数？为了表示具有相反意义的量，上面我们引
5、进了5，2，237，0.7 等数。像这样的一些新数，叫做负数（negative number）。过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，1.2 等，叫做正数（positive number）。正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如 5 可以写成+5。注意：零既不是正数，也不是注意：零既不是正数，也不是负负数。数。【跟踪练习】1、下列用正数和负数表示的相反意义的量，其中正确的是( )A、一天凌晨的气温是4，中午比凌晨上升了 4，所以中午的气温是4B、如果8.5m 表示比海平面高 8.5m，那么19.2m 表示比海平面低19.2mC、如果收入增加 180 元记作180 元，那么10
6、0 元表示支出减少 100 元D、售一件服装盈利 20 元记作20 元，那么30 元表示亏本 30 元2、下列各数：3，5，0，0.3，6.75 中，正数的个数共有( )43321A、1 个B、2 个 C、3 个D、4 个3、下列说法正确的是（ ）A、零是正数不是负数 B、零既不是正数也不是负数C、零既是正数也是负数 D、不是正数的一定是负数，不是负数的一定是正数 【中考链接】1、（2011岳阳）负数的引入是数学发展史上的一大飞跃，使数的家族得到了扩张，为人们认识世界提供了更多的工具最早使用负数的国家是（ ） A、中国 B、印度 C、英国 D、法国2、（2010 哈尔滨）某年哈尔滨市一月份的平
7、均气温为18，三月份的平均气温为2，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高（ ） （A）16 （B）20 （ C）一 16 （D）一 203.一个有理数的平方一定是（ ） A、负数 B、正数 C、非负数 D、非正数用爱去感化，用专业去打 动3【总结】1、正数和负数表示的是一对相反意义的量，哪种意义为正是可以任意规定的。如果把一种意义规定为正，则相反意义的量规定为负。常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负,。2、用正负表示具有相反意义的量,必须是同类量,如果有单位的,不要漏带单位.3、正数在书写时,前面的“+”号可省略不写，负数前面的“”号不能
8、省略。4、对于非 0 的数字来说，前面只带有一个负号即为负数，但对于字母来说不一定。用爱去感化，用专业去打 动4第二第二讲讲 有理数的概念及其分有理数的概念及其分类类【引入】日本人的无知日本人的无知：有理数在希腊文中称为 ，原意是“成比例的数”。英文取其意，以 ratio 为字根，在字尾加上-nal 构成形容词，全名为 rational number，直译成汉语即是“可比数”。对应地，无理数则为“不可比数”。但并非中文翻译不恰当。有理数这一概念最早源自西方几何原本，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译几何原本前 6 卷时的底本是拉丁文。他
9、们将这个词（“”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。当有理数从日本传回中国时又延续错误。清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。【讲解】1数的扩充：数 1，2，3，4，叫做正整数；1，2，3，4，叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数，8，+5.6，叫做正分数；，3.5
10、，叫做负分数；正32 41 54 97 76分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。2.区分“正”与“整”；小数,百分数可化为分数。3有理数的分类先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按数的“正”、“负”分，即得如下分类表：负分数正分数分数负整数正整数 整数 有理数0先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按数的“整”、“分”分，即得如下分类表：负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0注：“0”也是自然数。“0”的特殊性。【跟踪练习】用爱去感化，用专业去打 动51.下列说法正确的是（ ）A一个有理数不是整数就是分数 B正整数和负整数统称整数C正整数、负整数、正分数、负分数统称有理
11、数 D0 不是有理数2.下列四种说法中正确的是：（ ）A.不是正数的数一定是负数B所有的整数都是正数Ca 一定是负数D0 既不是正数，也不是负数3.下列说法中不正确的是( )A-3.14 既是负数，分数，也是有理数B0 既不是正数，也不是负数，但是整数C-2000 既是负数，也是整数，但不是有理数DO 是非正数4.把下列各数填入相应的集合中：,123,1998, 0 , 5114. 3),9 . 1(,314, 3正数集合 ；负数集合 ；整数集合 ；分数集合 ；5.把下列各数镇在相应的集合中：7，3.5，3.1415926，0，10，5，215 61 . 0自然数集合： 非正整数集合： 负分数
12、集合： 非负数集合； 【中考链接】1、将下列各数分别填入相应的大括号里：-3.5， 3.14， -2， +43， ， 0.618， ，0，-0.202. 0. 6 722正数： 个；整数： 个；负分数： 个；正整数： 个；非正整数： 个；非负整数：个；【总结】根据不同的分类标准对有理数进行分类。通过具体的数的分类练习培养正确分类能力，在确定分类标准时应防止出现“重”、“漏”的错误，即要求每一个数必须属于某一类，又不能同时属于不同的两类。要正确判断一个数属于哪一类，首先要弄清分类的标准。要特别注意“0”不是正数，但是整数。在数学里，“正”和“整”不能通用，是有区别的，“正”是相对于“负”来说的，
13、“整”用爱去感化，用专业去打 动6是相对于分数而言的。第三第三讲讲 数数轴轴【引入】笛卡笛卡尔尔的勤的勤奋奋： ：有一天,笛卡尔（15961650,法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床,但他头脑一直没有休息,在反复思考一个问题：几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?这里,关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩.他就拼命琢磨.通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来.突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”,使笛卡尔思路豁然开朗.他想,可以把蜘蛛看做一个点,它在屋子里可
14、以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置,不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗?反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如 3、2、1,也可以用空间中的一个点 P 来表示它们.同样,用一组数（a,b）表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示.于是在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系. 【讲解】1.数轴的画法：第一步：画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点 O，叫做原点，用这点表示数 0；（相
15、当于温度计上的 0。）第二步：规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。相反的方向就是负方向；（相当于温度计 0以上为正，0以下为负。）第三步：适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在 0 的右面取一点表示1，0 与 1 之间的长就是单位长度。（相当于温度计上 1占 1 小格的长度。）在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示 1，2，3，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示1，2，3，。2.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要人为
