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1、1名校专题名校专题-圆锥曲线培优训练圆锥曲线培优训练 5 51、设椭圆 E: （a,b0）过 M（2，） ，N(,1)两点，O 为坐标原点22221xy ab26（）求椭圆 E 的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。OAOB 解:（1）因为椭圆 E: （a,b0）过 M（2，） ，N(,1)两点,22221xy ab26所以解得所以椭圆 E 的方程为 4 分2222421611abab 2211 8 11 4ab 228 4a b22 184xy（2）假设存在圆心在原点
2、的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且,设该OAOB 圆的切线方程为解方程组得,ykxm22 184xyykxm 222()8xkxm即,222(12)4280kxkmxm则=,即222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm22840km12221224 12 28 12kmxxk mx xk 222222 222 12121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk222222 222 12121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk
3、x xkm xxmmkkk要使,需使,即,所以,OAOB 12120x xy y2222228801212mmk kk223880mk所以又, 2 23808mk22840km所以,所以,即或,222 38m m28 3m 2 6 3m 2 6 3m 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,ykxm2所以圆的半径为,21mr k 22 2 228 381318mmrmk2 6 3r 所求的圆为,此时圆的切线都满足或,228 3xyykxm2 6 3m 2 6 3m 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或2 6 3x 22 184xy2 62 6(,)33满足,2 62 6(,)33OAO
4、B 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且228 3xyOAOB 因为,12221224 12 28 12kmxxk mx xk 所以,222 222 12121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxx xkkk 2222222 121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk, 8 分422424232 45132134413441kkk kkkk当时，因为所以,0k 2 2321|11344AB kk 2 21448kk2 21101844kk 所以,所以当且仅当时取“=
5、” 2 23232111213344kk 46 | 2 33AB2 2k 时,0k 4 6|3AB 3当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为或,2 62 6(,)332 62 6(,)33所以此时, 12 分4 6|3AB 综上, |AB |的取值范围为即: 14 分46 | 2 33AB4| 6,2 33AB 2、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1)，平行于 OM 的x直线 l 在轴上的截距为，l 交椭圆于 A、B 两个不同点y(0)m m （1）求椭圆的方程； （2）求 m 的取值范围；（3）求证直线 MA、MB 与轴始终围成一个等腰三角形
6、 x解：（1）设椭圆方程为 则 2 分)0( 12222 baby ax2811422222bababa 解得椭圆方程 4 分12822 yx（2）直线 l 平行于 OM，且在轴上的截距为 m，又 y21OMKl 的方程为：mxy21由 6 分0422 1282122 22 mmxxyxmxy直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点， , 0)42(4)2(22mmm 的取值范围是022|mmm且（3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1k2=0 即可设21,21),(),(22 2 11 12211xykxykyxByxA则可得 8 分042222mmxx由42,22
7、 2121mxxmxx而)2)(2()2)(1()2)(1( 21,212112212211 21xxxyxy xy xykk4)2)(2() 1(4)2)(2(42)2)(2() 1(4)(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212121211221 xxmmmmxxmxxmxxxxxmxxmx10 分0)2)(2(4442422122 xxmmmmk1k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 12 分3 已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且E22221xy ab0ab(3, 1)P12, FF126FP F P （1）求椭圆的方程；E（2）若是
8、直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理,M N5x 12FMF NMNC由解：（1）设点的坐标分别为，12,F F(,0),( ,0)(0)ccc则12(3,1),(3,1),FPcF Pc 故，可得， 2 分2 12(3)(3)1 106FP F Pccc 4c 所以，4 分2222 122|(34)1(34)16 2aPFPF故，2223 2,18 162abac所以椭圆的方程为 6 分E22 1182xy（2）设的坐标分别为，则，,M N(5,),(5, )mn12(9,),(1, )FMm F Nn 又，可得，即， 8 分12FMF N 1290FM F Nmn 9m
9、n 又圆的圆心为半径为，C(5,),2mn| 2mn故圆的方程为，C222|(5)()()22mnmnxy5即，22(5)()0xymn ymn也就是， 11 分22(5)()90xymn y令，可得或 2，0y 8x 故圆必过定点和 13 分C(8,0)(2,0)（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆 C 直径的两端点直接P写出圆的方程）C4、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，PP12lx ：1d( 10)F ，2d且212 2d d(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程；(2)直线 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B
10、(点 A 或 B 不在 x 轴上)，分别过 A、B 点作直线l的垂线，对应的垂足分别为，试判断点 F 与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、1:2lx MN、MN圆上、圆外等情况)；(3)记，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使1FAMSS2FMNSS3FBNSSMN、成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2 213SS S进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线 C：21:alxc (0)Fc ，则使等式成立的的值仍保持不变请给出你的判断 22 22 221(0)xyabcabab，2 213SS S(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)解 (1
11、) 设动点为，依据题意，有，化简得 3 分()P xy，22(1)2 |2|2xy x2 212xy因此，动点 P 所在曲线 C 的方程是：4 分2 212xy(2) 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部理由：由题意可知，当过点 F 的直线 的斜率为 0 时，不合题意，故可设直线 ：ll，如图所示 5 分1xmy联立方程组，可化为，2 212 1xyxmy 22(2)210mymy 6则点的坐标满足 7 分1122()()A xyB xy，、，1221222 2 1 2myymy ym 又、，可得点、1AMl1BNl1( 2)My ， ，2( 2)Ny ， ，因，则=9 分1( 1)FMy ，
12、 ，2( 1)FNy ， ，1212( 1) ( 1)1FM FNyyy y ， ， ，22102m m于是，为锐角，即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部 10 分MFN(3)依据(2)可算出，121224()22xxm yym 21212222(1)(1)2mx xmymym则 13112211(2)|(2)|22S Sxyxy，12122112()44 2x xxxm22211 2 (2)m m 14 分22 2121(| 1)2Syy2 12121()44yyy y22212(2)m m所以，即存在实数使得结论成立 15 分 2 2134SS S4 对进一步思考问题的判断：正确 18
13、分5、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线(是正常数)的距离为，到点PP12px p1d的距离为，且1(0)2pF， 2d12dd(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程；(2)直线 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B，分别过 A、B 点作直线的垂线，对应的垂足分l1:2plx 别为，求证=；MN、FM FN 0(3)记，(A、B、是(2)中的点)，求的值1FAMSS2FMNSS3FBNSSMN、2 213S S S解 (1) 设动点为，依据题意，有()P xy，7，化简得4 分22|1|()122ppxxy22ypx因此，动点 P 所在曲线 C 的方程是： 6 分22ypx由题意可知，当过点 F 的直线 的斜率为 0 时，不合题意，l故可设直线 ：，如图所示
