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1、- 1 -江苏省常州市西夏墅中学高中数学江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.32.3 数学归纳法（数学归纳法（1 1）教案）教案 新人新人教教 A A 版选修版选修 2-22-2教学目标：教学目标：1理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤2通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法教学重点教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法教学难点教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题教学过程：教学过程：一、预习1问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏， （教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两
2、块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏） 思考 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：（1）_；（2）_思考思考 你认为条件（2）的作用是什么？ 思考思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？ 2我们知道对于数列an，已知a11，且（n1，2，3）通过对11n n naaan1，2，3，4，前 4 项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为，但归纳推理得出的1nan猜想不一定成立，必须通过严格的证明要证明这个猜想，同学们自然就会从n5 开始
3、一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是- 2 -不可能的能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立思考？你认为证明数学的通项公式是，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性1nan吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法1nan（1）第一块骨牌倒下（1）当n 时，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k1 块也倒下（2）若当n 时，猜想成立，即 ，则当n 时，猜想也成立，即 根据（1）和（2） ，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下根据（1）和（2） ，可知对任
4、意的正整数n，猜想都成立证明：（1） （2）假设 ，3小结数学归纳法的定义：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立（2） （归纳递推）假设nk(kn0，kN N*)时命题成立，证明当nk1 时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立上述证明方法叫做数学归纳法- 3 -用框图表示为：若 nk (kn0)时命题成立， 证明 nk1 时命题也成 立验证 nn0时 命题成立命题对从 n0从开始 所有的正整数 n 都成 立归纳奠基 归纳递推注 这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2） ，就
5、做出判断可能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1） ，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1） ，也可能得出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了二、课堂训练例 1 证明等差数列通项公式ana1(n1)d例 2 用数学归纳法证明：135（2n1）2n例 3 用数学归纳法证明 122232n2（nN N*） (1)(21) 6n nn练习：用数学归纳法证明：135(1)n(2n1)(1)nn三、巩固练习1用数学归纳法证明：“”2 211111n naaaaanaN ，在验证n1成立时，左边计算所得的结果是 2已知：，则等于 111( )1231f nnnn(1)f k3用数学归纳法证明：122334n(n1)1(1)(2)3n nn4用数学归纳法证明：2222121(1)1234( 1)( 1)2nnn nn四、小结重点：重点：两个步骤、一个结论；注意：注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉- 4 -五、作业课本 P94 第 1，2，3 题
