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1、1江苏省常州市西夏墅中学高中数学江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.2.22.2.2 间接证明教案间接证明教案 新人教新人教 A A版选修版选修 2-22-2 (2)(2) 教学目标：教学目标：1结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2了解反证法的思考过程、特点教学重点：教学重点：反证法的思考过程、特点教学难点：教学难点：反证法的思考过程、特点教学过程：教学过程：一、预习1问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：ABCD，BCDA在数学 2（必修） 第三章中，如何证明“在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与A1C是异面直线”的？2初中平面几何中有一个命题：“过在同
2、一直线上的三点A，B，C 不能作圆” 如何证明？23定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法即：欲证p则q，证：p且非q（反证法） 反证法的步骤：（1）_；（2）_；（3）_；反证法：（1）反设（即假设） p则q（原命题） 反设p且非q（2）可能出现三种情况：导出非p为真与题设矛盾导出q为真与反设中“非q”矛盾导出一个恒假命题与公理、定理矛盾反设是反证法的基础，归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木推理必须严谨导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛
3、盾；自相矛盾二、例题精讲例 1 求证：正弦函数没有比 2 小的正周期证明 假设T是正弦函数的周期，则对任意实数x都有：令x0，得 即Tk，kZ Z，又 0T2，故T，从而对任意实数x都有，这与矛盾所以正弦函数没有比 2 小的周期例 2 证明不是有理数 （课本例 2） 例 3 设，求证3证明 假设，则有，从而a3812b6b2b3，a3b3 6b212b86(b1)22，因为 6(b1)22 2，所以 a3b32，这与题设条件a3b32 矛盾，所以，原不等式成立注意：注意一注意一 “否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结
4、论的全部相反情况；正确地否定上述结论注意二注意二 反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的注意三注意三 在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的注意四注意四 用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏三、巩固练习1课本 86 页的练习（1，2，3，4，5） 2用反证法证明“如果，那么” ，假设的内容是_3用反证法证明：“ ab” 应假设（a b） 4用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（假设至少有两个钝角） 5有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（ ）A由已知出发推出与假设矛盾B由假设出发推出与已知矛盾C由已知和假设出发推出矛盾D以上说法都不对4四、回顾小结 1 反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论2反证法适用于证明“存在性，惟一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题五、作业课本 P87 第 8，9，10 题
