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1、全等三角形证明经典 50 题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 ADADBC延长 AD 到 E,使 DE=AD, 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEBC 时，E 点是射线 AB,DC 的交点） 。 则： AED 是等腰三角形。 所以：AE=DE 而 AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：BEC 是等腰三角形 所以：角 B=角 C.15. P 是BAC 平分线 AD 上一点，ACAB，求证：PC-PB三角形 ADC 全等于三角形ABC. 所以 BC 等于 DC，角 3
2、等于角 4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形 BEC 所以5=634已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF 所以 AC=DF 又因为 AB 平行 DE，BC 平行 EF 所以角 A+角 EDF，角BCA=角 F（两直线平行，内错角相等） 然后 SSA（角角边）三角形全等35已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CD证明：因为 AB=AC， 所以 EBC=DCB DBC cAFE6 65 5 4 43 3 2 21 1 E ED DC CB BA AACB
3、DEF因为 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB 所以 BECD36、如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F。求证：DE=DFAAS 证ADF37.已知：如图, ACBC 于 C , DEAC 于 E , ADAB 于 A , BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的 长？角 C=角 E=90 度 角 B=角 EAD=90 度-角 BAC BC=AE ABCDAE AD=AB=5 38如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明AB=
4、AC ABC 是等腰三角形 B=C 又ME=MF，BEM 和CEM 是直角三角形BEM 全等于CEM MB=MC39.如图，给出五个等量关系： ADBCACBDCEDEDC 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结DABCBA 论（只需写出一种情况） ，并加以证明 已知：求证：证明：已知 1,2 求证 4 因为 AD=BC AC=BD，在四边形 ADBC 中，连 AB 所以ADB 全 等于BCA 所以角 D=角 C 以 4,5 为条件，1 为结论。 即：在四边形 ABCD 中，D=C，A=B，求证：AD=BC 因为 A+B+C+D=360 D=C，A=B， 所以 2(A+D
5、)=360， A+D=180， 所以 AB/DC AEBDCFDCBAEBCMAFEABC40在ABC 中，直线经过点，且于，90ACBBCAC MNCMNAD D 于.(1)当直线绕点旋转到图 1 的位置时，求证： MNBE EMNCADC ；CEBBEADDE (2)当直线绕点旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证MNC 明；若不成立，说明理由.（1）证明：ACB=90， ACD+BCE=90， 而 ADMN 于 D，BEMN 于 E， ADC=CEB=90，BCE+CBE=90， ACD=CBE 在 RtADC 和 RtCEB 中， ADC=CEBACD=CB
6、E AC=CB， RtADCRtCEB（AAS） ， AD=CE，DC=BE， DE=DC+CE=BE+AD； （2）不成立，证明：在ADC 和CEB 中，ADC=CEB=90ACD=CBE AC=CB， ADCCEB（AAS） ， AD=CE，DC=BE， DE=CE-CD=AD-BE； 41如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF（1）证明;因为 AE 垂直 AB 所以角 EAB=角 EAC+角 CAB=90 度 因为 AF 垂直 AC 所以角 CAF=角 CAB+角 BAF=90 度 所以角 EAC=角 BAF 因为 AE=AB
7、AF=AC 所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等 所以 EC=BF 角 ECA=角 F （2）(2)延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G 因为角 ECA= 角 F(已证） 所以角 G=角 CAF 因为角 CAF=90 度 所 以 EC 垂直 BF42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。 证明： （1） BEAC，CFAB ABM+BAC=90， ACN+BAC=90 ABM=ACN BM=AC，CN=AB ABMNAC AM=AN （2） ABMNAC BAM=N N+BAN=90 BAM+BAN=90 即MAN=90 AMAN4
8、3如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF 连接 BF、CE， 证明ABF 全等于DEC（SAS） ， 然后通过四边形 BCEF 对边相等的证得平行四边形 BCEFFBCAMNE1234AEBM CF从而求得 BC 平行于 EF44如图,已知 ACBD，EA、EB 分别平分CAB 和DBA，CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD 相等吗？请说明理由 在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC CAE=EAN ,AE 为公共 边,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以ANE=ACE 又 AC 平行 BD 所以ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180所以E
9、NB=BDE NBE=EBN BE 为公共边, 所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD45、 （10 分） 如图,已知: AD 是 BC 上的中线 ,且 DF=DE求证:BECF 证明： AD 是中线 BD=CD DF=DE，BDE=CDF BDECDF BED=CFD BECF46、(10 分)已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F 是垂足，DEBF 求证：ABCD 证明：DEAC，BFAC， DEC=AFB=90， 在 RtDEC 和 RtBFA 中，DE=BF，AB=CD， Rt DECRtBFA， C=A， ABCD47、
10、(10 分)如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD 【待定】ADECBF.3421DCBA48、 (10 分)如图，已知 ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论. 结论：CEDE。当AEB 越小，则 DE 越小。 证明：过 D 作 AE 平行线与 AC 交于 F，连接 FB 由已知 条件知 AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形 ，且 DFB 为等腰三角形。 RTBAE 中，AEB 为锐角， 即AEB45 RT AFB 中，FBA=90-DBF 45 ABAF AB=CE AF=DE CEDE 49、 (10 分)如图，已知
11、ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE. 先证明ABCBDC 的出角 ABC=角 DCB 在证明ABEDCE 得出 AE=DEACEDBABECD50如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE证明：作 CG 平分ACB 交 AD 于 G ACB=90 ACG= DCG=45 ACB=90 AC=BC B=BAC=45 B=DCG=ACG CFAD ACF+DCF=90 ACF+CAF=90 CAF=DCF AC=CB ACG=B ACGCBE CG=BE DCG=B CD=BD CDG BDE ADC=BDEABCDEF图 9
