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1、中考压轴题专题几何（辅助线）中考压轴题专题几何（辅助线） 精选精选 1 1.如图，RtABC 中，ABC=90，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，ADBC，且 AB=3，BC=4，则 AD 的长为 精选精选 2 2如图，ABC 中，C60，CAB 与CBA 的平分线 AE，BF 相交于点 D， 求证：DEDF 精选精选 3.3.已知：如图，O 的直径 AB=8cm，P 是 AB 延长线上的一点，过点 P 作O 的切线， 切点为 C，连接 AC (1) 若ACP=120，求阴影部分的面积； (2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，CPA 的平分线交 AC 于点 M，CMP 的大小是否发生变 化
2、？若变化，请说明理由；若不变，求出CMP 的度数。 D A B C E F 精选精选 4 4、如图 1，RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，点 O 是斜边 AB 上一动点，以 OA 为半径作O 与 AC 边交于点 P， （1）当 OA= 时，求点 O 到 BC 的距离； （2）如图 1，当 OA=时，求证：直线 BC 与O 相切；此时线段 AP 的长是多少？ （3）若 BC 边与O 有公共点，直接写出 OA 的取值范围； （4）若 CO 平分ACB，则线段 AP 的长是多少？ 精选精选 5 5如图，已知ABC 为等边三角形，BDC120，AD 平分BDC， 求证：BD+DCAD
3、E C A D B 精选精选 6、已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （第 6 题图） （1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA 求证：OCPPDA； 若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长； （2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数； （3）如图 2，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A 不重合） ，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP
4、于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变 化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度 精选精选 7、如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，小芳同学将一个 三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边 分别交 CB、BA（或它们的延长线）于点 E、F，EDF=60，当 CE=AF 时，如图 1 小芳同学 得出的结论是 DE=DF （1）继续旋转三角形纸片，当 CEAF 时，如图 2 小芳的结论是否成立？若成立，加以证 明；若不成立，请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在
5、 CB、BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系； （3）连 EF，若DEF 的面积为 y，CE=x，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y 有 最小值，最小值是多少？ 精选精选 8、等腰 RtABC 中，BAC=90，点 A、点 B 分别是 x 轴、y 轴两个动点，直角边 AC 交 x 轴于点 D，斜边 BC 交 y 轴于点 E； （1）如图（1） ，若 A（0，1） ，B（2，0） ，求 C 点的坐标； （2）如图（2） ，当等腰 RtABC 运动到使点 D 恰为 AC 中点时，连接 DE，求证： ADB=CDE （3）如图（3） ，在等腰 RtA
6、BC 不断运动的过程中，若满足 BD 始终是ABC 的平分线，试 探究：线段 OA、OD、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由 精选精选9如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线、上，这四条直ABCD 1 l 2 l 3 l 4 l 线中相邻两条之间的距离依次为、 1 h 2 h 3 h 123 (000)hhh， （1）求证：； 31 hh （2）设正方形的面积为，求证：；ABCDS 22 121 ()Shhh （3）若，当变化时，说明正方形的面积 12 3 1 2 hh 1 hABCD 随的变化情况S 1 h l1 l2 l3 l4 h3 h2 h1 A C D B 第题图
7、参考答案参考答案 精选精选 1 解：RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4， AC=5， DE 垂直平分 AC，垂足为 O， OA= AC= ，AOD=B=90， ADBC， A=C， AODCBA， =，即=，解得 AD= 故答案为： 精选精选 2 证明：在 AB 上截取 AG，使 AG=AF， 易证ADFADG（SAS） DFDGC60， AD，BD 是角平分线，易证ADB=120 ADFADGBDGBDE60 易证BDEBDG（ASA） DEDGDF 精选精选 3、 解：（1）连接 OC PC 为O 的切线， PCOC PCO=90 度 ACP=120 ACO=30 OC=OA
8、， A=ACO=30 度 BOC=60 OC=4 S阴影=SOPCS扇形 BOC=； （2）CMP 的大小不变，CMP=45 D A B C E F G 由（1）知BOC+OPC=90 PM 平分APC APM= APC A= BOC PMC=A+APM= （BOC+OPC）=45 精选精选 4、 解：（1）在 RtABE 中， （1 分） 过点 O 作 ODBC 于点 D，则 ODAC， ODBACB， 点 O 到 BC 的距离为 （3 分） （2）证明：过点 O 作 OEBC 于点 E，OFAC 于点 F， OEBACB， 直线 BC 与O 相切 （5 分） 此时，四边形 OECF 为矩形
9、， AF=ACFC=3= ， OFAC，AP=2AF= （7 分） （3）；（9 分） （4）过点 O 作 OGAC 于点 G，OHBC 于点 H， 则四边形 OGCH 是矩形，且 AP=2AG， 又CO 平分ACB，OG=OH，矩形 OGCH 是正方形 （10 分） 设正方形 OGCH 的边长为 x，则 AG=3x， OGBC，AOGABC， ， ，AP=2AG= （12 分） 精选精选 5、 证法证法 1：（截长）如图，截 DF=DB，易证DBF 为等边三角，然后证BDCBFA 即可； 证法证法 2：（截长）如图，截 DF=DC，易证DCF 为等边三角，然后证BDCAFC 即可； 证法证法
10、 3：（补短）如图，延长 BD 至 F，使 DF=DC，此时 BD+DC=BD+DF=BF， 易证DCF 为等边，再证BCFACD 即可 证法证法 4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆 设 ABACBCa，根据（圆内接四边形）托勒密定理： CDaBDaADa，得证 F F F 精选精选 6、 解：（1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形， AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=B APO=90 APD=90CPO=POC D=C，APD=POC OCPPDA OCP 与PDA 的面积比为 1：4， = PD=
11、2OC，PA=2OP，DA=2CP AD=8，CP=4，BC=8 设 OP=x，则 OB=x，CO=8x 在 RtPCO 中， C=90，CP=4，OP=x，CO=8x， x2=（8x）2+42 解得：x=5 AB=AP=2OP=10 边 AB 的长为 10 （2）如图 1， P 是 CD 边的中点， DP= DC DC=AB，AB=AP， DP= AP D=90， sinDAP= DAP=30 DAB=90，PAO=BAO，DAP=30， OAB=30 OAB 的度数为 30 （3）作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2 AP=AB，MQAN， APB=ABP，ABP=MQP APB=M
12、QP MP=MQ MP=MQ，MEPQ， PE=EQ= PQ BN=PM，MP=MQ， BN=QM MQAN， QMF=BNF 在MFQ 和NFB 中， MFQNFB QF=BF QF= QB EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB 由（1）中的结论可得： PC=4，BC=8，C=90 PB=4 EF= PB=2 在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，长度为 2 精选精选 7、 解：（1）DF=DE理由如下： 如答图 1，连接 BD 四边形 ABCD 是菱形， AD=AB 又A=60， ABD 是等边三角形， AD=BD，ADB=60， DBE=A=60 ED
13、F=60， ADF=BDE在ADF 与BDE 中， ADFBDE（ASA） ， DF=DE； （2）DF=DE理由如下： 如答图 2，连接 BD四边形 ABCD 是菱形， AD=AB 又A=60， ABD 是等边三角形， AD=BD，ADB=60， DBE=A=60 EDF=60， ADF=BDE 在ADF 与BDE 中， ADFBDE（ASA） ， DF=DE； （3）由（2）知，ADFBDE则 SADF=SBDE，AF=BE=x 依题意得：y=SBEF+SABD= （2+x）xsin60+ 22sin60=（x+1）2+即 y=（x+1）2+ 0， 该抛物线的开口方向向上， 当 x=0 即
14、点 E、B 重合时，y最小值= 精选精选 8、 （1）解：过点 C 作 CFy 轴于点 F， AFC=90， CAF+ACF=90 ABC 是等腰直角三角形，BAC=90， AC=AB，CAF+BAO=90，AFC=BAC， ACF=BAO 在ACF 和ABO 中， ， ACFABO（AAS） CF=OA=1，AF=OB=2 OF=1 C（1，1） ； （2）证明：过点 C 作 CGAC 交 y 轴于点 G， ACG=BAC=90， AGC+GAC=90 CAG+BAO=90， AGC=BAO ADO+DAO=90，DAO+BAO=90， ADO=BAO， AGC=ADO 在ACG 和ABD 中 ACGABD（AAS） ， CG=AD=CD ACB=ABC=45， DCE=GCE=45， 在DCE 和GCE 中， ， DCEGCE（SAS） ， CDE=G， ADB=CDE； （3）解：在 OB 上截取 OH=OD，连接 AH 由对称性得 AD=AH，ADH=AHD ADH=BAO BAO=AHD
