《空间解析几何曲面旋转曲面与二次曲面》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间解析几何曲面旋转曲面与二次曲面（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第六节,三、旋转曲面,四、二次曲面,旋转曲面与二次曲面,第七章,一、空间直角坐标系,二、曲面及其方程,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,例1. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,离的点 .,2、空
2、间两点间的距离公式:,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,二、曲面及其方程,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,1、曲面方程的概念,定义.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面
3、 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,坐标轴 :,坐标面 :,2、常见的曲面方程,故所求方程为,例1. 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点
4、, 或虚轨迹.,3、柱面的方程,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,定义.,平行定直线 l 并沿定曲线 C 移动的直线形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于
5、 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1. 指出下列方程的图形:,定义2. 一条平面曲线,三、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点
6、,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,四、二次曲面,三元二次方程,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭
7、球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),2. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,平面,上的截痕情况:,双曲线:,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,练习:,在 xoy 面上,
