有限单元法第4章空间轴对称问题的有限元分析

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1、第4章 空间轴对称问题的有限元分析,教学提示：空间轴对称结构是工程中一类特殊的结构。对于这类结构，由于其几何形状、约束情况、所受荷载都对称于某一根轴（如图4.1所示），因此，通常是在柱坐标系中进行分析。本章以三角形单元为例介绍了这一类结构的有限元分析过程。教学要求：本章要求学生了解柱坐标系中三角形单元的建立方法，熟悉轴对称结构有限元分析的基本方法。,4.1 概述,在工程中有许多结构，如活塞、厚壁容器等，他们的几何形状、约束情况及所受的荷载都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为空间轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐

2、标系 ，以 轴为对称轴。,如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：,其中 表示沿半径方向的正应力，称为径向应力； 表示沿 方向的正应力，称为环向应力或切向应力； 表示沿方向的正应力，称为轴向应力； 表示在圆柱面上沿方向作用的剪应力。,同样，轴对称问题共有4个应变分量：,其中 表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变； 表示沿 方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变； 表示沿方向的正应变，称为轴向正应变； 表示沿和方向的剪应变。,在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移 u 和轴向位移 w ，两个位移

3、分量表示为，,4.2 三角形单元,轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。,4.2.1 位移函数的选取,参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为，,按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（4-4）得到，,其中：,定义形函数为：,用矩阵表示的单元位移为：,4.2.2 单元刚度矩阵,轴对称问题的几何方程：,由（4-9）式得，,其中，,用几何矩阵表示单元的应变，,由于 在是坐标 r、z 的函数， 分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元中仍为常量。,由轴对称问题的物理方程，得到

4、弹性矩阵 D，,由弹性矩阵 D 和几何矩阵 B 可以得到应力矩阵 S，并计算出单元内的应力分量，,其中：,式中：,有了单元应力场和应变场，可以利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度矩阵,单元刚度矩阵的分块矩阵为，,由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标 代替 B 矩阵中的变量 。,应变矩阵（4-13）变成，,其中：,单元刚度矩阵的近似表达式为：,单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为，,这里：,4.2.3 等效结点荷载,（1）集中力集中力的处理很简单，一般直接把集中力作用点取为结点，不需要作特殊处理，就可以直接把集中力加入到结点荷载

5、列阵中去。,（2）体积力设单元内单位体积上作用的体积力为 ，则移置到单元各结点的等效结点力为,（3）表面力设单元某边上作用的表面力为 ，则移置到单元各结点的等效结点力为,轴对称问题分析中，如果直接定义结点荷载，则荷载值是实际弹性体上绕对称轴一周的荷载的累计结果。,第6章 平板弯曲问题的有限元分析,教学提示：对于工程中经常遇到的不规则薄板，经典理论通常显得无能为力，此时必须运用数值方法进行分析。本章就平板弯曲问题的有限元分析进行了介绍，分别运用三角形单元、矩形单元、八结点四边形等参单元等单元划分形式对平板弯曲问题进行介绍，包括位移模式、单元分析、整体分析、等效结点荷载计算等方面。教学要求：本章要

6、求学生重点掌握运用三角形单元进行薄板的有限元分析，包括位移模式、单元分析、整体分析、等效结点荷载计算等。同时要熟悉矩形单元的运用，了解八结点四边形等参单元的分析过程。,6.1 薄板受弯分析的基本方程,当薄板上受有一般载荷时，总可以把个荷载分解为两个分量：一个是作用在薄板中面内的中面荷载（也称纵向荷载）；另一个是垂直于中面的法向荷载（也称横向荷载）。对于中面荷载，可以认为它们沿薄板的厚度均匀分布，因而它们所引起的位移、应变和应力，可以按平面应力问题进行分析。横向荷载将使薄板发生弯曲和翘曲，它们所引起的位移、应变和应力，应按薄板弯曲问题进行计算。当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面称为弹性曲面，而中面内

7、各点在垂直于中面方向的位移称为挠度。本节只介绍薄板弯曲的小挠度理论，即薄板虽然很薄，但仍具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于其厚度。,6.1.1 基本假设,分析薄板弯曲的挠度问题时，和材料力学中分析直梁的弯曲问题时相似（薄板的中面相当于直梁的轴线，薄板的弹性曲面相当于直梁的挠曲线），也采用一些由实践经验得到的基本假设，使问题大大简化，但同时又能在一定程度上反映实际情况。这些基本假设是：（1）薄板的法线变形后没有伸缩。（2）变形前的中面法线在变形后仍是弹性曲面的法线。（3）薄板中面内各点，没有平等于中面的位称。（4）忽略挤压应力所引起的变形。,6.1.2 几何方程,取薄板的中面为xy面，z轴垂

8、直于中面，如图6.1所示。,由假设（1）可知， ，再由 ，可得 。也就是说，中面法线上的所有各点具有相同的位移 ，即弹性曲面的挠度。,根据假设（2），可以推知：薄板的法线（z方向线段）与x方向或y方向的线段保持垂直，即没有剪应变，也就是：,上式也可写成：,对式（6-1）进行积分，注意到 只是x和y的函数，不随z而变，因而得：,（6-2）,（6-1）,假设（3）可以表示为 ， ，代入到式（6-2）得：,于是式（6-2）就简化为：,（6-3）,现用挠度来表示应变，不难得到：,这就是弯曲薄板的应变与挠度之间的几何方程。,（6-4）,在小变形情况下， 和 分别为弹性曲面在x和y方向的曲率 和 ，而 为

9、弹性曲面在x和y方向的扭率 。这三个参数称作弹性曲面的弯扭变形分量，它们完全确定了薄板内各点的应变分量。用矩阵可表示为：（6-5） 将上式代入到式（6-4），得到： （6-6） 从上式中可以看出，薄板内所有各点的应变分量都可由弹性曲面的弯扭变形求出。因此，有时也把式（6-5）称作薄板弯曲问题的几何方程。,6.1.3 物理方程,假设（4）说明：可以忽略挤压应力 引起的变形。因此薄板内各点的应变分量可用应力分量来表示，即：,这和薄板平面应力问题中的物理方程相同，由式（6-7）解出应力，可得：,（6-7）,将式（6-4）代入上式，得到用挠度表示的应力分量，用矩阵来表示可写成：,（6-8）,（6-8）

10、,式中：,（6-9）,在薄板的弯曲问题中，由于大多数情况下，都很难使得应力分量在薄板的侧面上（板边上）精确地满足应力边界条件，而只能使这些应力分量所组成的内力整体地满足边界条件，因此，有必要考察薄板横截面上的内力。,从薄板内取出一个平行六面体，它在x和y方向上具有单位宽度，在z方向的高度为t（图6.3）。在x为常量的横截面上，作用有 和 。由于 和 都和z成正比，所以它们在薄板全厚度上的代数和分别等于零。只可能分别合成弯矩和扭矩。用 表示由 所合成的单位宽度上的弯矩，则得：,将式（6-8）中的 的表达式代入上式，并对z积分，得到,与此相似，应力分量 将合成扭矩,将式（6-8）中的 表达式代入上

11、式，并对z积分，得到,（6-11）,（6-10）,同样，在y为常量的横截面上，每单位宽度上的 和 也分别合成如下的弯矩和扭矩,在这里可以看到，由剪应力 和 的互等关系，得到扭矩 和 的互等关系。将式（6-10）、（6-11）和（6-12）中的第一式合并起来，用矩阵表示，则有,（6-12）,其中,是薄板弯曲问题的弹性矩阵，它等于平面应力问题中的弹性矩阵乘以 。式（6-13）表示了薄板的内力与应变两者之间的关系，因而是薄板弯曲问题中的物理方程。,（6-13）,（6-14）,弯矩和扭矩 、 、 、 的方向及其作用面的位置示于图6.4a中。按右手螺旋法则用双箭头矢量来表示力偶，如图6.4b所示（图中所

12、示各力偶的方向均为正）。从式（6-13）中解出 、 、 ，再代入式（6-8），就得到各应力分量与内力之间的关系式。,图6.4,（a）,（b）,从式（6-13）中解出 、 、 ，再代入式（6-8），就得到各应力分量与内力之间的关系式。,（6-15）,6.2 三角形单元,6.2.1 位移模式问题,为保证挠度 w 为坐标的全三次多项式，从帕斯卡三角形可知必须要有10项，但三角形3个结点只能有9个自由度，若舍去三次项中的任一项，显然都无法保证对坐标的不变性，为此Tocher提出了一种解决方案如下：,但是当三角形的二边分别平行坐标x轴、y轴时，从式（6-16）无法通过结点的位移条件来确定广义坐标参数 ，

13、为此必须在离散化时设法避免边界（内部）单元不出现上述现象，分析结果表明此位移模式对应的单元能得到很好的结果。,（6-16）,另一解决方案是Adini提出的,此方案由于舍去了二次项xy，故常扭率 无法得到保证，从而位移偏小，精度很差。这也可以从挠曲函数的Taylor级数展开来说明，由于不包含完全二次项，故只能有一阶精确度。,还有一种Bell提出的解决方案，他对三角形单元除了3个角点作为结点外，取形心点挠度作为位移参数，从而取位移模式为全三次多项式利用10个位移参数条件确定广义坐标参数，通过分析建立起单元刚度、等效结点荷载矩阵，在整体分析之前采取如下措施消去内点自由度。,单元刚度方程（6-19）式

14、中 从式（6-19）的第二个方程可解出：（a） 将式（a）代回式（6-19）第一个方程并进行整理，可得：,设 单元刚度矩阵： 等效结点荷载： （6-20） 则单元刚度方程为 （6-21）通过静力凝聚最后获得了9自由度的三角形单元。但是Zienkiowicz曾指出这样所得到的单元不能保证收敛性，因此，通常采用另外一种位移模式，即下面介绍的面积坐标下的位移模式。,6.2.2 面积坐标下的位移模式,设面积坐标变量为 。其定义如下：如图6.6所示，三角形单元中任意一点P的位置可以由如下三个比值来确定：,A为三角形单元的面积，为小三角形面积,根据三角形面积公式，可以得到面积坐标与直角坐标的关系为：式中,

15、Zienkiowicz等采用面积坐标解决了直角坐标下所产生的困难，提出了如下的位移模式,利用结点的位移参数条件可以确定广义坐标参数，从而建立形函数（当然也可象前面介绍的那样由形函数性质来确定）如下,（a）,式中脚标轮换规则为 1231， 如果注意到：,则式（a）可改写成：,从式（c）出发，可按如下两步法确定形函数：（1）以 、 、 作为结点自由度（位移参数），求对应它们的形函数；（2）利用关系式,将（1）中的 、 变换成 、 ，然后进行合并整理即可得到对于（ 、 、 ）结点位移参数的形函数。,下面具体推导如下：（1）由 、 、 的位移条件可得、 、 (e)（2）由式（c）求导可得,(f),（3）建立如下位移条件,（g）,并由此求得式：,（h）,（4）将式（e）和式（h）代回式（b）并整理，可得：,式中：,（j）,（i）,（5）将式（d）代入式（i）并再整理即可得：,其中：,（第二脚标轮换）1231,不难验证所得形函数与式（6-22）完全相同。但这种推求方法显然比普通广义坐标法直接求 而后得形函数要方便得多。,（6-23）,6.2.3 单元分析,无论是以式（6-16）还是用式（6-22）、（6-23）建立单元的挠度场，有了w就可用常规方法来进行单元列式。下面以面积坐标的形函数和式（6-23）来推导并给出三角形单元的显式单元刚度矩阵等等。,