机器数的加减运算

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1、第4章 机器数的运算方法及运算器,目 录,4.1 机器数的加减运算及其实现 4.2 定点乘法及其实现 4.4 浮点数的算术运算 4.5 运算器的组成和结构,4.1 机器数的加减运算及其实现,4.1.1 原码加法 4.1.2 补码加法 4.1.3 减法运算 4.1.4 补码加减运算线路的实现,4.1.1 原码加法,例4.1 设X=+10001，Y=+01011，求Z=X+Y 解：即，Z=+11100。,1.符号相同的两个原码相加：符号相同的两个原码相加，只要两个数的数值相加即可，其符号不变。,解：即，Z=-11100。,例4.2 设X=-10001，Y=-01011，求Z=X+Y,【例4.3】设

2、X=+10101，Y=-01010，求Z=X+Y解：先比较X与Y的绝对值，本题X|Y|,所以做减法|X-|Y|，结果是Z=+01011,4.1.1 原码加法,2.符号相异的两个原码相加：先比较两数的绝对值大小，用绝对值大的数减去绝对值小的数，结果的符号是绝对值大的数的符号。,例4.2 设X=+01010，Y=-10111，求Z=X+Y 解：先比较X与Y的绝对值，本题Y|X| ,所以做减法|Y-|X|，结果是Z=-01101,用原码进行符号不同的两个数相加时有以下三步运算： 比较两个数的绝对值的大小； 绝对值大的数的绝对值减去绝对值小的数的绝对值； 结果赋以绝对值大的那个数的符号。,4.1.1

3、原码加法,4.1.2 补码加法,1.定点补码运算性质性质1 两数之和的补码等于两数补码之和。 X+Y补=X补+Y补,补码运算特点：补码运算时，不用判断符号位，符号位与数值一块参与运算； 两数相加之后，进位的最高位超出字长部分自动丢失。,例4.5 设X=+11010，Y=-10101，用补码的加法求Z=X+Y解：加数和被加数的数值位都是5位，在数值位之前加1位符号位。这样，X补=011010，Y补=101011X+Y补= X补+Y补= 011010+101011=000101 所以，X+Y=+00101。 注意：在运算中，数值位和符号位有进位，本例采用单符号位，以2为模，进位的1就丢掉了。,例4

4、.6 设X=+10101，Y=-11010，用补码加法求Z=X+Y 解：X补= 010101，Y补=100110X+Y补=X补+Y补= 010101+100110=111011 所以，X+Y=-00101。,性质2 一个负数的补码的补码就是这个负数的原码。X补补X原 例4.7 设有两个定点小数 X=-0.10011，Y=-0.11001，求这两个负数补码的补码。 解： X原1.10011 Y原1.11001X补1.01101 Y补1.00111X补补1.10011X原 Y补补1.11001Y原补码这一性质，计算机中计算结果的补码均可化成该数的原码。,例4.8 设有两个定点小数 X=-0.110

5、1，Y=0.0111，(-1X+Y0)，求这两数之和。解：X补1.0011 Y补0.0111X补+Y补1.0011+0.01111.1010X+Y原X补+Y补补1.1010补1.0110所以，X+Y-0.0110用真值进行运算：X+Y-0.1101+0.0111-0.0110结果相同。用补码做加法是数值位连同符号位一起参加运算的。但是在有溢出的情况下，用一般的补码加法就得不到正确的结果，再看下面的例子。,例4.9 设有两个定点小数X=+0.10111，Y=+0.10001，用补码的加法求Z=X+Y 解：X补= 0.10111，Y补=0.10001X+Y补= X补+Y补=0.10111+0.10

6、001=1.01000Z=X+Y=-0.11000两个大于0.5的正数相加，结果就为负值，结果显然是错误的。,例4.10 设X=-0.10111，Y=-0.10001，用补码的加法求Z=X+Y解：X补=1.01001，Y补=1.01111X+Y补= X补+Y补=1.01001+1.01111=0.11000 Z=X+Y=+0.11000两个绝对值大于0.5的负数相加，结果为正值，这也是错误的。它们的和超出了机器数所能表示的最大范围，即产生了溢出，在有溢出的情况下，用一般补码加法就无法得到正确结果。,例4.11 设有两个定点小数X=+0.10111，Y=-0.10001，用补码的加法求Z=X+Y

7、 解：X补= 0.10111，Y补=1.01111X+Y补= X补+Y补=0.10111+1.01111=0.00110所以，Z=+0.00110，没有发生溢出，结果是正确的。,例4.12 设有两个定点小数X=-0.10111，Y=+0.10001，用补码的加法求Z=X+Y 解：X补=1.01001，Y补=0.10001X+Y补= X补+Y补=1.01001+0.10001=1.11010X+Y补补=1.00110Z=X+Y=-0.00110 所以，Z=-0.00110，没有发生溢出，结果也是正确的。,2.变形补码加法,变形补码是符号位用两位来表示的补码。 变形补码的定义为 ：对于变形补码，补

8、码的加法性质公式同样适用，即： X+Y变形补= X变形补+Y变形补 X 变形补 变形补X原,用双符号位进行判断，若和的两个符号位相同(00或11)，不发生溢出；若和的两个符号位相异(01或10)，就说明发生了溢出。遇到溢出，就要停机进行如下处理：选取一个合理的比例因子H=2i,对每个加数都除以H，然后相加，其结果再乘以H，即得所求。,下面我们对例4.9和例4.10用变形补码加法来求结果。 【例4.13】设X=+10111，Y=+10001，用变形补码的加法求Z=X+Y 解：设比例因子H=2，则有 所以，X+Y=+101000,【例4.14】设X=-10111，Y=-10001，用变形补码的加法

9、求Z=X+Y 解：设比例因子H=2，则有：所以：X+Y=-101000,说 明, 舍入处理 在变形补码运算中，加数除以H=2i，是通过把X补右移I位得到的。在移位时，末几位可能超出机器的最末位而丢失，造成误差。为了减少误差，通常要进行舍入处理，一般有两种方法： 恒置1。即移位后机器末位总是1。上面的例子就 是用的恒置1的方法。 0舍1入。即移出去的数是0则抹去，移出去的数 是1则进1到末位。 符号位扩展 补码在右移时，要注意符号位要一起移，且最左边一位要补上原符号位的值，这就叫做符号位扩展，即把符号位扩展到为3位。,总结以上，得出补码相加的规则： 若两数符号不同，相加的结果即为和的补码。若两数

10、符号相同，相加后若其和的符号不变，则结果是和的补码。若两数符号相同，相加后若其和的符号改变，则表示发生了溢出。两个正数相加，结果的符号为“01”，表示发生正溢出；两个负数相加，结果的符号为“10”，表示发生负溢出。,说 明,4.1.3 减法运算,性质3 两数之差的补码等于被减数的补码与负的减数补码之和。X-Y补=X补+-Y补 由性质1推导得：X-Y补=X+（-Y）补=X补+-Y补 例4.15 两个正数相减，被减数大于减数的例子。设X=+11001，Y=+10001，求Z=X-Y。 解：X补= 00.11001，-Y补=11.01111X-Y补= X补+-Y补= 00.11001+11.0111

11、1=00.01000X-Y=+01000 所以，Z=+01000,例4.16 两个正数相减，被减数小于减数的例子。设X=+10011，Y=+11001，求Z=X-Y。 解：X补= 00.10011，-Y补=11.00111X-Y补= X补+-Y补= 00.10011+11.00111=11.11010X-Y =-00110所以，Z =-00110,【例4.17】两负数相减，被减数大于减数的例子。设X=-10011，Y=-11001，求Z=X-Y。解：X补= 11.01101，-Y补=00.11001X-Y补 = X补+-Y补=11.01101+00.11001=00.00110X-Y =+00

12、110所以，Z= +00110,【例4.18】两负数相减，被减数小于减数的例子。设X=-11001，Y=-10011，求Z=X-Y。解：X补= 11.00111，-Y补=00.10011X-Y补=X补+-Y补=11.00111+00.10011=11.11010X-Y=-00110所以，Z=-00110,4.1.4 补码加减运算线路的实现,在线路实现上，若已有Y补，求-Y补可用把Y补每一位（包括符号位和数值位）取反，再在最低位加1来实现。实现补码加减运算的逻辑电路如右图所示。,4.1.4 补码加减运算线路的实现,图中各个部件的名称和功能是： F 表示多位并行加法器，它的功能是接收参加运算的两个

13、数X和Y，实现加法运算，并在输出端给出本次运算结果。加法器的最低一位可以接收一个进位信号1F。X和Y临时存放参加运算数据的两个寄存器，X还用来保存运算的结果。 A “与”门，功能是控制寄存器X输出的内容是否送到加法器F的左输入端，用XF信号控制。 C “与”门，功能是控制加法器F的运算结果是否写回寄存器X，用FX信号控制。 B “与或”门，功能是通过控制信号YF和F分别把Y寄存器中的内容是原数据送加法器F还是各位取反后送加法器F。,运算原理如下：参加运算的两个数被送到寄存器X和Y，以补码的形式保存。要实现X+Y补X，需给出XF、YF两个控制信号，就可以把X补和Y补送入加法器F的两个输入端，加法

14、器再完成两个补码X补和Y补的相加。加法完成之后，再通过FX命令，把相加结果送入寄存器X。若要完成X-Y补X，“与”门A送出的还是X补，但“与或”门B送出的应是Y每一位的取反值，并在加法器的最低位加进位信号1F，这样就得到-Y补，通过加法器F相加，就实现了X补+-Y补，也就是X-Y补。再通过FX命令，把X-Y补送入寄存器X。,4.2 定点乘法及其实现,4.2.1 原码一位乘法及其实现 4.2.2 定点补码一位乘法及其实现 4.2.3 原码两位乘法 4.2.4 补码两位乘法(了解),4.2.1 原码一位乘法及其实现,在定点计算机中，用两个原码表示的数相乘，其乘积的符号由两数的符号位异或得到，乘积的

15、数值部分是两数的绝对值相乘之积。例如，有两个数X和Y,X原=XsX1X2 XnY原=YsY1Y2 Yn 则 X*Y原=X原*Y原。乘积的符号位为：XsYs乘积的数值部分为：（X1X2 Xn）*（Y1Y2 Yn）。,例如：X=0.1001,Y=0.1101 求Z=X*Y解： 0.1001X 0.110110010000100110010.01110101 得到相乘结果X*Y= 0.01110101,在计算机中其运算规则是：根据乘数Y绝对值每个数位上的值Yi是“1”还是“0”(从最低位Y0开始)，决定本次部分积是加上被乘数X的绝对值，还是加上全“0”，得到的新部分积右移一位，再重复上面的动作，直到乘法做完为止。,【例4.20】X=+11010，Y=+10110，求Z=X*Y解：X原=0.11010，Y原=0.10110乘积的符号位Z0=00=0乘积的数值部分是两数的绝对值相乘。开始时，部分积为全“0”。,所得结果Z=+0.1000111100。 有时部分积的符号位出现“1”，并不是出现了负数，而是部分积的值超出了“1”，右移时符号位应补“0”。,