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1、成都市龙泉第一中学校高二上数学竞赛成都市龙泉第一中学校高二上数学竞赛 考试时间：2015 年 10 月 28 日 16:15-17:45 总分 100 分 说明：（说明：（1-201-20 题每小题题每小题 3 3 分，分，21-4021-40 题每小题题每小题 2 2 分）分） .1、已知集合，则 * 2 20,Ax xxxR 2 10,Bx xxR AB 答案： AB12xx 2、已知，则的值为 * . 3 sin 45 sin2 答案： 7 25 3、已知向量，若向量与向量共线（R R，且a =2,3b =1,2manba2b,m n ，0n ) 则的值为 * . m n 答案： 1 2
2、 4、设是两个非空数集，定义集合,若，QP、QbPabaQP,5 , 2 , 0P ，则中元素的个数是 * 6 , 2 , 1QQP 答案： 8 5、如果, 那么 = * nma cos1 1 lg,)cos1lg(, 0sinlg 答案： 1 () 2 mn 6、已知倾斜角为的直线 与直线平行，则的值为 * l022yx2tan 答案： 3 4 7、 在中，内角所对边分别为,若，则ABCCBA、cba、abbac 222 222 是* ABC 答案：钝角三角形 8、若圆有且仅有两个点到直线的距离等于 1，则半径 2 22 53ryx234 yx 的取值范围是 * r 答案：（4,6） 9、等
3、比数列的前项和为，若，则等于 * n an n S70,10 3010 SS 40 S 答案： 150 10、已知是函数图像上不同的两点，若的中点落在 2211 ,yxByxA x x xf 21 2 )( AB 轴上，则的取值范围为 * x 2 2 2 1 xx 答案： 1 ( ,) 2 11、已知，那么的值是 * 2 1 cos sin1 x x 1sin cos x x 答案：0.5 12、已知函数，则= * 1 0 , 4 01, 4 1 )( x x xf x x 3log4f 答案：3 13、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足OCBA、P ,则的轨迹一定通过的 * ,
4、 0,ACABOAOPPABC 答案：重心 14、对任意的恒成立，则的取值范围是 * a xx x x 13 , 0 2 a 答案： , 5 1 15、已知直线，直线和坐标轴围成的四边形有外接圆， 1 :240lxy 2:2 10laxy 则的值等于 a 答案： 1 16、Given that the top points of rectangle areABCD respectively. Point is a moving point 0,0 ,2,0 ,2,1 ,0,1ABCD,P x y on segment BD, suppose , then the expression of i
5、s . f xDP PC f x 答案： 2 54 202 ;1, 45 xxx P (x,y) (2,0)(0,0) C(2,1)(0,1) x B A D y 17、正方体中，二面角的度数是_ * _. 1111 ABCDABC D 11 ABDA 答案：60 18、一个几何体的三视图如图 1 所示，则此几何体的全面积是 * . 答案：596102 19、联想祖暅原理祖暅原理（夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截， 如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等） ，请计算：由曲线 和两直线所围成的平面几何图形的面积等于 * ln ,ln3yx yx1y
6、答案： 6 20、在等差数列则最大值是 * 2 1384 ,0, nn aaaaaa中且 310 a S 答案： 375 4 21、定义运算，则函数的最大值为 * )( , )( , yxx yxy yx)(cos*)2(sin)(xxxf 答案： 2 3 22、三棱锥的所有棱长均为 , 顶点在底面上的正投影为点, 点在ABCD1ABCDHM 上, 且AH 使, 则的长为 * . 90BMC AM 答案： 6 6 23、已知函数，若，且，则的取值范围是 lg1f xx1ab f af bab * . 答案：4, 24、对于任意两个正数, 定义运算“”如下：，其中为, x yAxyaxbycxy
7、A, ,a b c 常数.已知，并且存在一个非零实数，使得对于任意实数都有123,234AAdx ，则的值为 * . 2xdxAd 答案： 3 25、直线 过点 P(1,3)且和两坐标轴围成的三角形的面积为 6，则满足条件的直线有_ _l 条. 答案： 3 26、在中，角所对的边分别为若，过作ABC, ,A B C, ,a b c 2 3 C 2caC 的垂线，垂足为，设，则= * ABDADDB 答案：525 27、已知是正数，且，则的最小值为 * , , ,a b c d21,21abcd 11 abcd 答案：25 28、函数在区间上的值域是，则点所在轨迹的长度为 * 2 2yxx, a
8、 b1,3( , )a b 答案：答案：4 29、在正方体中，过的直线与所成角都等于，则的取值范围为 * 1 AC 1 C 1 ,AC AD 答案：, 6 2 30、为数列前项和，若且对所有的（）都有， n S n an 1 2011a n12011n 2 nn Sn a 则 * 答案： 2011 a 1 1006 31、已知数列，前项部分和满足，则 n a 1 1a n S 111 2 nnnnnn SSSSS S 。 n a 答案：。 11 8(1)1 n n a nn 32、方程的解集合为 。 1 16sincos16xxx x 答案：。 11 , 44 33、函数的值域为 3123f
9、xxx 答案： 3 . 1, 2 . 1, 3 C. 1, D. 1, 2 2 AB 34、长方体中，已知，则对角线的取值范围是 1111 ABCDABC D 1 4AB 1 3AD 1 AC * 答案：答案： 4,5 35、棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为,则的最大值为 * _ss 答案： 1 2 36、在ABC中，已知，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC30 ,105AB 相交于点E，使得，且DE将ABC的面积两等分，则 * 60CDE 2 CD AC 答案： 3 6 37、已知，且，则 * 1,1xy124kxyyyx maxmin kk 答案：10 38、在一个
10、棱长为 5 的正方体封闭的盒内，有一个半径等于 1 的小球，若小球在盒内任意地 运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 * 答案： 3 31 44 39、定义在上的函数满足，当时， R)(xf16)5()(xfxf4 , 1(x ，则函数在上的零点个数是 x xxf2)( 2 )(xf2013, 0 答案：604 40、平面上三点， （，） 若点满足)(,(ifiPi3 , 2 , 1i4 , 3 , 2 , 1)( ifQ ，且则这样的()0 ijij QPQPPP (, ,1,2,3 )ij i j 123( )QPQPQPR 三角形的个数为 * 321 PPP 答案： 6 高高 201
11、42014 级高二上数学竞赛参考答案部分解析级高二上数学竞赛参考答案部分解析 1-9、略 10、，得， 2 2 1 1 21 2 21 2 x x x x 2121 4xxxx 所以 2121 2 2 2 1 2 21 2 21 4216xxxxxxxxxx 所以 4 1 21 xx 又 2 1 16 1 16 1 162162 2 2121 2 212121 2 2 2 1 xxxxxxxxxxxx 11-14、略 15、 如图： 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 8642246810121416 D C B A 情况一：两直线垂直；情况而： 0 180CBDCAD 16、略 17
12、、略 18、 直观图如图所示 19、 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 8642246810121416 B A q x = ln x 3 h x = ln x 的长度始终为 3，根据原理可得AB 20、，所以， 2 44831 3aaaaa3 4 a 1833535 2 44103 dddadaSa 当时，有最大值 2 1 d 4 375 21、如图 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 8642246810121416 A 22、可得，可知为等腰直角三角形，则，设 3 6 , 3 3 AHBHBCM 2 2 BM ，则xAM 2 1 3 1 3 6 2 x 23、易得则，由
13、得, 0) 1lg() 1lg(ba2baabba 12ba 24、略 25、略 26、 c b a D B A C 设，则,则2, 1ca 2 15 b 24 315 CD 24 53 32 45214 32 45218 1 BD ， 24 55 AD525 27、由平均值不等式及题设条件知，即， 2 21 2() 24 cd cd 1 8 cd 1 当且仅当时取等号这时由便得， 11 , 24 cd 1 1118 abcdab 2 又由条件和柯西不等式可得， 2 1818 ()(2 )(14)25ab abab 3 当且仅当时取等号，结合条件便知此时由便 3 2ba 12 , 55 ab 2 3 4 得当时，取最小值 25 11 25 abcd 1211 , 5524 abcd 11 abcd 28、 8 6 4 2 2 4 6 1055101520 1 3 -1 由图像可知： 3 , 1,1 , 1ba 29、将移到，问题等价于过与成等角的直线，又成角。AC 11C A 1 ADACA 111 ,DACA 111 , 0 60 答
