《吉林省2015届高三理科数学一轮复习学案--不等式的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林省2015届高三理科数学一轮复习学案--不等式的证明（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识梳理：知识梳理： 常用的不等式的证明方法: 1、比较法 比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差出的符号，有时要 把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或者几个平方和的形式，也可变形为 几个因式的积的形式，以便判断其正负。 2、综合法：利用某些已经证明过的不等式（均值不等式）和不等式的性质，推出所经证明 的不等式，这个证明方法叫做综合法，利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质要注意 它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系：即从已知条件 A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件， 推导出所经证明的结论 B。 3 分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式
2、出发，分析使这个不等式成立的充分条 件，把证明不等式转化为这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具 备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。 4、反证法：正难则反 先假设要证明的问题不成立，以此为出发点，结合已知的条件、应用公理，定义、定理、性 质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等） 矛盾结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法称为反证法。 5、放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从 而达到证明的目的，这种方法叫放缩法。所谓的放缩技巧：即欲证 A B，欲寻找一个（或多
3、个）中间变量 C，使得 A C B，由“A 到C 就是“放” ，则 B 到 C 就上“缩” 。 二、题型探究二、题型探究 探究一：比较法： 例 1：若水杯中 b 克糖水中含有 a 克糖，假如再加入 m 克糖，糖水会变得更甜，试将这一事 实用数学关系式表示出来，并加以证明。探究二：分析法和综合法例 2：已知正数 a，b，求证：+探究三：放缩法：例 3：求证：1+例 4：证明不等式：1+ （n）探究五：反证法： 例 5：已知 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证：（1-a）b， （1-b）c， （1-c）a 中至少有一个不大于 。三、方法提升三、方法提升 （1） 、分析法是求证的不等式出发，分析
4、这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为 判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因” 。 （2） 、综合法的证明过程有时正好是分析法的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后 用综合的形式写出证明过程，即：“由因导果” 。 （3） 、证明不等式的灵活多样，但比较法，综合法，分析法和数学归纳法仍是证明不等式的 最基本的方法，要依据题设结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种 证明方法的中推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。 四、反思感悟五、课时作业五、课时作业 【说明】 本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟. 一、选择题（每小题 6 分，共 42 分）1.
5、设 0x1，则 a=,b=1+x,c=中最大的一个是（ ）x2x11A.a B.b C.c D.不能确定2.(2010 北京东城区一模，4)已知 a0,b-1,则下列不等式成立的是（ ）A.a B.aba2ba2ba baC.a D.aba2ba ba2ba3.设 ab0，则下列关系式成立的是（ ）A.aabb B.aabb2)(ba ab 2)(ba abC.aabb= D.aabb与的大小不确定2)(ba ab 2)(ba ab4.设 a,bR+，且 ab-a-b1，则有（ ）A.a+b2(+1) B.a+b+122C.a+b+1 D.a+b2(+1)225.若 0x,设 a=2-xsin
6、x,b=cos2x,则下式正确的是( )2A.ab B.a=b C.ab D.ab 6.设 a,b,c 为ABC 的 3 条边，且 S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则( )A.S2P B.PS2P C.SP D.PS2P7.若 a,xyR+,且+a恒成立，则 a 的最小值是( )xyyxA.2 B. C.2 D.122二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 15 分）分） 8.在ABC 中，三边 a、b、c 的对角分别为 A、B、C，若 2b=a+c，则角 B 的范围是 _. 9.已知 ab+bc+ca=1，则当_时，|a+b+c|取最小值_. 10.民用住宅的窗户
7、面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小 于 10%，并且这个比越大，采光条件越好，则同时增加相等的窗户面积与地板面积，采光条 件变_（填“好”或“坏” ）. 三、解答题（1113 题每小题 10 分，14 题 13 分，共 43 分） 11.已知函数 f(x)=x2+ax+b,当 p、q 满足 p+q=1 时，试证明 pf(x)+qf(y)f(px+qy)对任意实数 x、y 都成立的充要条件是：0p1.求证:.byy axx 14.给出不等式(xR).经验证：当 c=1,2,3 时，对于 x 取一切实数，不等式 cxcx221cc1都成立，试问 c 取任何正数时，不等
8、式对任何实数 x 是否都成立，若成立，则证明，若不成 立，求 c 的取值范围.1.解析：解析：因 0x1,故 1-x20,即 1+x,bc,又 1+x-=()2+0,故 ab,即x11x222x21最大的是 C. 2.答案：答案：C解析：解析：a0,b-1,则0,b-1.则 b21.1.又a0,0a.ba21 b2baa.故选 C.ba2ba3.答案：答案：A.解析：解析：aabb=,因 ab0,故 ab1,a-b0,1.2)(ba ab 2)(baba 2)(baba4.答案：答案：A.解析：解析：由 ab1+a+b()21+a+b,将 a+b 看作一整体即可.2ba5.答案：答案：D解析：
9、解析：a-b=2-xsinx-cos2x.=sin2x-xsinx+1=(sinx-)2+1-,因为 0x,所以2x 42x 201.所以 a-b0.42x 1626.答案：答案：D.解析：解析：2(S-P)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20,SP. 2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)b2+c2+a2=S,2PS.7.答案：答案：B.解析：解析：因()2=1+1+=2,故的最大值为.即yxyx yxxy 2 yxxy 2yxyx2amin=.28.答案：
10、答案：0B .解析：解析：3cosB=.0B.acacca acbca 8233 222222 21 829222 acacca 39.答案：答案：a=b=c= ，333解析：解析：|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3ab+3bc+3ac=3. 10.答案：答案：好解析：解析：设窗户面积为 a，地板面积为 b，则 ab,且10%,设增加面积为 m，易知ba.ba mbma11.证明：证明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b =p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy =pq
11、(x-y)2.(x-y)20,欲使 pq(x-y)20 对任意 x、y 都成立， 只需 pq0p(1-p)0p(p-1)00p1. 故 0p1 是 pf(x)+qf(y)f(px+qy)成立的充要条件.12.证明：证明：221 21baa+b+1+2421 21ba1ab+1ab.21 21ba2ba 4141ab()2=成立,原不等式成立.2ba 4113.证法一：证法一：（作差比较法）,又且，a、bR+,)(byaxaybx byy axx ba11ba0.又 xy0,bxay.0，即.)(byaxaybx byy axx 证法二：证法二：（分析法）x、y、a、bR+,要证,只需证明 x(y+b)y(x+a),即证 xbya,而同byy axx 0,ba0.又 xy0,知xbya 显然成立，故原不等式成立.ba1114.解析：解析：由+ cxcx221cc1cx 2 cx 21cc1(-)+ -0(-)(1-)0cx 2c cx 21 c1cx 2c ccx21假设 xR 时恒成立，显然-0cx 2c即有 1-01x2-c ccx21cx 2cc1左边 x20，而右边不恒0，故此不等式不能恒成立.若恒成立则必有-c0c1 时恒成立.c1 , 0, 012ccc又
