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1、1必修五必修五 数列数列知识梳理知识梳理 1.1.数列的前数列的前n项和与通项的公式项和与通项的公式nnaaaS21； )2() 1(11 nSSnSannn.例 1. 已知下列数列的前n项和，分别求它们的通项公式. nanSnannSn322； 13 n nS.设数列满足，则 na21* 12333.3,.3n nnaaaanNna 数列中，)(2 321Nnnaaaan，求53aa 的值. na已知数列 na的首项11 2a ，其前n项和21nnSn an求数列 na 的通项公式设nS、nT分别是等差数列、的前n项和，327 nn TSnn，则55 ba. na nb2.2. 数列的单调性
2、数列的单调性递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.2010-20112010-2011 海淀区高三年级期中海淀区高三年级期中已知数列满足：na123, (1,2,3,)nnaaaanan（I）求的值；123,a a a2（）求证：数列是等比数列；1na （）令（） ，如果对任意，都有，求实数(2)(1)nnbn a1,2,3.n *nN21 4nbtt的取值范围.t2.2.等差数列知识点等差数列知识点 通项公式与前通项公式与前n项和公式项和公式通项公式dnaan) 1(1，1a为首项，d为公差.前n项和公式2)(1n naanS或dnnnaSn) 1(
3、21 1.等差中项等差中项: :如果bAa,成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 即：A是a与b的等差中项baA2a，A，b成等差数列. 等差数列的判定方法等差数列的判定方法定义法：daann1（Nn，d是常数）是等差数列； na中项法：212nnnaaa(Nn)是等差数列. na)是等差数列()naanb一一 na是等差数列2()nSAnBn数项为一0一一一 na等差数列的常用性质等差数列的常用性质数列是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列； na等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,32knknknnaaaa为 na等差数列，公差为kd.dmnaamn)
4、( ；若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等差数列的前n项和nS，则 nSn是等差数列； na例 2.已知nS为等差数列的前n项和，)(NnnSbn n.求证：数列 nb是等差数列. na3等差数列的前项和的最值问题nnS若nSda, 0, 01有最大值，可由不等式组 001nn aa来确定n；若nSda, 0, 01有最小值，可由不等式组 001nn aa来确定n.例 2.已知nS为数列的前n项和，31a，)2(21naSSnnn. na求数列的通项公式； na数列中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？若 na存在，求最小的正整数k，若不存在，说
5、明理由.3.等比数列知识点通项公式与前通项公式与前n项和公式项和公式通项公式：1 1n nqaa，1a为首项，q为公比 .前n项和公式： 当1q时，1naSn当1q时，qqaa qqaSnnn11)1 (11.等比中项等比中项 如果bGa,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等， ， ， ，中项a，G，b成等差数列baG2.等比数列的判定方法等比数列的判定方法定义法：qaann1（Nn，0q是常数）是等比数列； na中项法：22 1nnnaaa(Nn)且0na是等比数列. na等比数列的常用性质等比数列的常用性质数列是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列
6、； na在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 na4,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq.),(Nmnqaamn mn若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等比数列的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列. na例 3.已知nS为等比数列前n项和，54nS，602nS，则nS3 . na4.数列的通项的求法 利用观察法观察法求数列的通项.利用公式法公式法求数列的通项： )2() 111 nSSnSannn（；应用迭加（迭乘、迭代）法迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：)(1nfaann；).(1nfaann构造构造等差、等
7、比数列求通项：qpaann1； n nnqpaa1；11n n naakab例 4.设数列的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaan nn，设n nnSb3， na求数列 nb的通项公式（宣武二模理（宣武二模理 1818）设是正数组成的数列，其前项和为，且对于所有的正整数,有 nannSn12nnaS(I) 求，的值；1a2a(II) 求数列的通项公式； na5（III）令，（） ，11bk kkab) 1(122k kkab3212 , 3 , 2 , 1k求数列的前 项和 nb12 n12 nT例 5.已知数列中，)2( 12, 211nnaaann，求数列的通项公式； na na设
8、 na是首项为 1 的正项数列，且)(0) 1(122 1Nnaanaannnnn，则数列 na的通项na .例 6.已知数列中，232, 111nnaaa，求数列的通项公式； na na已知数列中，n nnaaa33, 111，求数列的通项公式. na na例 7.数列 na中，)(22, 111Nnaaaann n，则 na的通项na .数列 na中，)(, 1111Nnaaaaannnn，则 na的通项na .6例 8.已知数列中，naaann2, 111，求数列的通项公式. na na5.5.数列求和数列求和 基本数列的前基本数列的前n项和项和 等差数列 na的前n项和：nSnbnad
9、nnnaaann211) 1(212)( 等比数列 na的前n项和nS：当1q时，1naSn；当1q时，qqaa qqaSnnn11)1 (11；数列求和的常用方法数列求和的常用方法：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.例.等差数列，公差21d，且6099531aaaa，则100321aaaa . na拆项分组法求和拆项分组法求和求数列，)21(813412211nn 的前n项和nS.裂项相消法求和裂项相消法求和数列,) 1(4321,4321,321,21 k的前n项和nS 求和：)2(1 531 421 311 nn；7 求和：nn11 341 231 121.倒序相加法求和倒
10、序相加法求和北京市宣武区北京市宣武区 2009201020092010 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测已知函数，为正整数555)(xxfm（）求和的值；)0() 1 (ff)1 ()(xfxf（）若数列的通项公式为（） ，求数列的前项和；na)(mnfanmn, 2 , 1nammS（）设数列满足：，设，若nb211bnnnbbb2 111 11 1121nnbbbT（）中的满足对任意不小于 3 的正整数 n，恒成立，试求的最mS57774nmTSm大值.例 9.设nS是数列 na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn.求 na的通项；8设12 nSbn n，求数
11、列 nb的前n项和nT.错位相减法求和错位相减法求和若数列 na的通项n nna3) 12(，求此数列的前n项和nS.【解析解析】n nnS3) 12(35333132， 14323) 12(3533313n nnS -，得14323) 12(32323232312nn nnS14323) 12()3333(231nnn63)22(1nn.nS33) 1(1nn.例 10.已知nS为数列的前n项和，11a，Sn+1=4an+2. na设数列 nb中，nnnaab21，求证： nb是等比数列；设数列 nc中，nn nac2，求证： nc是等差数列；求数列的通项公式及前n项和. na例 11.设函
12、数)(xf的定义域为R，当0x时，1)(xf，且对任意的实数Ryx,，有)()()(yfxfyxf求)0(f，判断并证明函数)(xf的单调性；数列满足)0(1fa ,且)()2(1)(* 1Nnafafnn na9求通项公式； na北京市宣武区北京市宣武区 2009201020092010 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测解：（）=1；515555)0() 1 ( ff=1；分)1 ()(xfxf5555551xxxxx55555555（）由（）得 ,即) 11 ( 1)1 ()(mkmkfmkf, 1 1)()(kmkaa, mkmfmkf由, m1m321maaaaaS
13、得 ,aaaaaSm13m2m1mm由, 得，10 分,21) 1(2mmamS455 21) 1() 1 (21) 1(mfmSm（） ,对任意的. ,211b) 1b(bbbbnnn2 n1n0 *,nbNn即.,1b1 b1 ) 1b(b1 b1nnnn1n1nnnb1 b1 1b1.111132211211)11()11()11(nnnnnbbbbbbbbbT数列是单调递增数列.,bb, 0bbbn1n2 nn1nbn10关于 n 递增. 当, 且时, .nT3nNn3TTn256777) 11621(1621,1621) 143(43,43) 121(21,214321bbbb .而为正整数，.77725621243bTTn,577743TSm5 .650mm的最大值为 650. m
