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1、1二次函数知识点归纳及相关典型题二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分第一部分 基础知识基础知识1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.cbacbxaxy,(2)0ayx2.二次函数的性质2axy （1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.2axy y（2）函数的图像与的符号关系.2axy a当时抛物线开口向上顶点为其最低点；0a当时抛物线开口向下顶点为其最高点.0a（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y2axy ）（0a3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.cbxaxy2y4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.cbxaxy2khxay2
2、abackabh44 22，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；2axy kaxy22hxay；.khxay2cbxaxy26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；a0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.yhx y0x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，a只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.abac abxacbxaxy44 222 2），（
3、abac ab 44 22abx2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直khxay2h k线.hx 2（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用cbxaxy2cba,（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a2axy a（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy2，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即abx
4、20by0ababy0ab、异号）时，对称轴在轴右侧.aby（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.ccbxaxy2y当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：0xcy cbxaxy2yc，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.0c0cy0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .y0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy （轴）0xy（0,0）kaxy2（轴）0xy(0, )k2hxayhx (,0)hkhxay2hx (,)h kcbxaxy2当时0a开口向上当时0a开口向下abx2()abac
5、ab 44 22，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.cbxaxy2xy（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.khxay2（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.x1x2x21xxxxay12.直线与抛物线的交点3（1）轴与抛物线得交点为(0, ).ycbxaxy2c（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).yhx cbxaxy2hcbhah2（3）抛物线与轴的交点x二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的cbxaxy2x1x2x02cbxax两个实数根.抛物线与轴的交
6、点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：x有两个交点抛物线与轴相交；0x有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；x0x没有交点抛物线与轴相离.0x（4）平行于轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则k横坐标是的两个实数根.kcbxax2（5）一次函数的图像 与二次函数的图像的交点，由方程组 0knkxyl02acbxaxyG的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时cbxaxynkxy2lG与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.lGlG（6）抛物线与轴两交点之
7、间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、xcbxaxy2x0021，xBxA1x是方程的两个根，故2x02cbxaxacxxabxx2121,aaacb ac abxxxxxxxxAB 44422212 212 2121第二部分第二部分 典型习题典型习题.抛物线 yx22x2 的顶点坐标是 （ D ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）cbxaxy2ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c04第,题图 第 4 题图.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）cbxaxy2Aa0，b0，c0 Ba
8、0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为 BC 上一点，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F（EF 不过A、B） ，设 E 到 BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ ）2482 ,484EFxEFxyxx .抛物线与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB 的长为 4 322xxy6.已知二次函数与 x 轴交点的横坐标为、（） ，则对于下列结论：当 x2 时，11)(2k2xkxy1x2x21xxy1；当时，y0；方程有两个不相等的实数根、2xx011)(22xkkx1x；，；，其中所有正确的结论是 （只需填写序号） 2x
9、11x12x2211 4kxxk7.已知直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为.02bbxycxbxy102（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线上，试确定这条抛物线的解析式；bxy 2（2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线的解析式.bxy 2解：（1）或102 xy642xxy将代入，得.顶点坐标为，由题意得0)b（，cb21016100(,)24bbb5，解得.21016100224bbbb 1210,6bb （2）22 xy8.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为，且是 x 的二次
10、函数，已知输入值为,0, 时, 相应的输出值yy21分别为 5,34（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围. yx解：（1）设所求二次函数的解析式为,cbxaxy2则,即 ,解得 43005)2()2(22cbacbacba1423babac321cba故所求的解析式为:.322xxy（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值为正数时，y输入值的取值范围是或x1x3x9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体
11、温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是 39 22102421612xxxy10.已知抛物线与 x 轴交于 A、4)334(2xaaxyB 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得6ABC 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由解：
12、依题意，得点 C 的坐标为（0，4） 设点 A、B 的坐标分别为（，0） ， （，0） ，1x2x由，解得 ，04)334(2xaax31xax342 点 A、B 的坐标分别为（-3，0） ， （，0） a34 ，|334|aAB522OCAOAC22OCBOBC224|34|a ，98 91693432916|334|2222aaaaaAB，252AC1691622aBC当时，ACB90222BCACAB由，222BCACAB得)16916(2598 91622aaa解得 41a 当时，点 B 的坐标为（，0） ，41a316 96252AB252AC94002BC于是222BCACAB 当
13、时，ABC 为直角三角形41a当时，ABC90222BCABAC由，得222BCABAC)16916()98 916(2522aaa解得 94a当时，点 B（-3，0）与点 A 重合，不合题意94a39434 34 a当时，BAC90222ABACBC由，得222ABACBC)98 916(251691622aaa7解得 不合题意94a综合 、 、 ，当时，ABC 为直角三角形41a11.已知抛物线 yx2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB，试求 m 的值；5（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且
14、 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 则 x1 ，x2是方程 x2mxm20 的两根.x1 x2 m , x1x2 =m2 0 即 m2 ;又 ABx1 x2 , 121245x xx x2（+ ）m24m3=0 . 解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a，b) .M、N 是抛物线上的两点, 222,2.amambamamb 得：2a22m40 . a2m2 .当 m2 时，才存在满足条件中的两点 M、N. .2am 这时 M、N 到 y 轴的距离均为, 2m又点 C 坐标为（0，2m）,而 SM N C = 27 ,2（2m
