初三数学方程(组)与不等式(组)知识精讲华东师大版

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1、用心 爱心 专心初三数学方程（组）与不等式（组）知识精讲 华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：总复习（二）方程（组）与不等式（组）知识要点（一）方程与方程（组）1. 方程与方程（组）有关概念（1）方程：含有未知数的等式。（2）整式方程：重点研究一元一次方程（ ）和一元二次方程（axb0，）。axbca0，（3）分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）（4）二元一次方程组2. 方程（组）的解与解方程（组）（1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根。（2）方程组的解：使方程组中每个方程左右两边的值都相等的所有未知数的值，叫做该方程组的解

2、。（3）解方程：求方程解的过程。（4）等式的基本性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不是零），所得的结果仍是等式。（5）一元一次方程（包括含字母系数的一元一次方程）解法的一般步骤：去分母去括号移项合并同类项系数化为 1（6）一元二次方程的解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法；（7）一次方程组的解法：一次方程组通过代入消元或加减消元转化为一次方程来解决。（8）可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程通过去分母或换元转化为整式方程来解决，注意验根。（9）二元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元转化为一元一次

3、方程来解决。3. 一元二次方程 根的判别式。axbca20()方程有两个不相等的实数根bc240方程有两个相等的实数根方程没有实数根4. 应用问题解应用题时，应该有两步检验，一是检验所求得的解是否为原方程（组）的解；二是检验它是否符合实际意义。（1）列方程（组）解应用问题常用的基本数量关系：数量的和、差、倍、分；距离速度时间，注意变式的情况；工作量工作效率工作时间，注意变式的情况；用心 爱心 专心增长率 ；增 长 数基 数 10%数字问题；面积问题。（2）列方程（组）解应用问题的一般步骤：审、设、表、列、解、检、答。（3）用方程的思想解综合性问题。（二）不等式与不等式组1. 不等式的解集与解不

4、等式（1）不等式的基本性质：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（2）一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合。（3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。2. 不等式组的解集与解不等式组（1）几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。（2）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。（3）解一元一次不等式组的步骤：分别求出不

5、等式组中各个不等式的解集；利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。3. 应用问题列一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；（2）解不等式（组）；（3）从不等式组的解集中求出符合题意的答案。【典型例题】例 1. 代数式 与代数式 的值相等时，求 k 的取值。1k43k分析：由代数式的值的意义，给定 k 的一个值，两个代数式都分别有不同的取值，若令两代数式相等，求其字母的值，就用到了方程的思想。根据题意，得：2134k解得： 9k5108k答：k 的值为 8。说明：本题考察了方程的思想，根的意义及解一元一次方程。用心

6、 爱心 专心例 2. 如果 a 是关于 x 的方程 的根，且 ，那么 的值是多少？bxa20a0b分析：由方程根的意义，将 a 代入其方程能使两边相等。解：a 是方程 的根2b201，而 1即 a说明：本题考察了方程根的意义、因式分解等知识，同时还考察了恒等变形的能力。例 3. 解方程组 xy31252简析：本题特点适用于代入消元和加减消元两种方法，若在平面直角坐标系中画出两个方程所代表的两条直线，然后标出交点坐标，也可以求出方程组的解，即为图象法解方程组。解法一：（代入消元法）由得： xy3把代入，得：32594y把 代入，得：x31所以 是原方程组的解。y4解法二：加减消元法将两边同时乘以

7、 3，得：39x由，得： y4把 代入，得：y4x1所以 是原方程组的解。y4解法三：由可得： yx3由可得： 52在同一个平面直角坐标系中作出一次函数 和一次函数 的图象，yx3yx352观察图象得交点为（-1，-4）。用心 爱心 专心所以方程组的解是 xy14说明：代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（一般称这个等式为关系式）；（2）将关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将它代入关系式，求得另一个未知数的值；（4）把求

8、得的未知数的值用联立符号表示出来。加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：（1）使方程组中准备消掉的未知数在两个方程中的系数的绝对值相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；（4）把求得的两个未知数的值按字母顺序用联立符号表示出来。图象法的使用不如上面两种方法普遍，它只对交点的横、纵坐标都是整数值时适宜，其他情况下得进行估值。例 4. 选择适当方法解下列方程：（1） ()x325（2） x7（3） 1802分析：一元二次方程的解法有直接开平方法，因式分解法，

9、配方法，公式法等。在解答时应根据题目特点，选择适当的方法，如：（1）适于使用直接开平方法；（2）使用因式分解法较为简捷；（3）可以使用配方法或公式法。解：（1）方程两边直接开平方，得x528，（2）移项，得： 702xx合并同类项得： 68方程左边分解因式得： 34()或0x34用心 爱心 专心x12043，（3） abc18， ，bc2244()xx123434说明：在用公式法和因式分解法解一元二次方程时，要注意把方程化为的形式。axbc20例 5. 解关于 x 的方程： abxbx220()分析：这个方程中二次项系数是 ab，x 的系数是 ，常数项是 ab，因为题设()ab2中没有指明 a

10、 与 b 的取值范围，所以应加以讨论。解：（1）当 且 原方程变形为 ，02（2）当 且 ，原方程变形为 x0，（3）当 且 ，原方程利用因式分解，得 ()ab0xbax12（4）当 且 ，方程中的 x 可取任意实数。0综上：当 中有一个为零时，方程的解为、 0当 同时为零时，方程的解为任意实数b、当 都不为零时，方程的解为a、 bax12，说明：本题考察了有关方程的概念，因式分解法解方程以及分类讨论的思想，这种对字母取值情况逐一讨论，是培养数学素养的一个方面。例 6. 解分式方程 21672()()x分析：这个分式方程如果用去分母法解，所得到的将是一个难解的四次方程，因此要考虑别的解法。观察

11、方程的特点，含未知数的两部分式子 与 互为倒数，所以x212可使用换元法来解。解：设 ，那么xy21xy12于是原方程变形为 67方程的两边都乘以 y，得270y用心 爱心 专心解这个方程，得 y123，当 时，y2x2去分母，整理得 0所以 x81当 时，y3223去分母，整理得 0x所以 x174经检验： 都是原方程的根。x23174，所以原方程的根是 。xx123417317， ， ，说明：换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的方程的特殊方法。它的基本思想是用换元的方法把某些式子的形式简化，从而把原方程的形式简化。例 7. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用 100

12、 元，按该书定价 2.8 元出售，并很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高 0.5 元，用去了 150 元，所购书数量比第一次多 10 本，当这批书售出 时，出现滞销，便以定价的455 折售完剩余的图书，试问该老师第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？解法一：设第二次购书 x 本，则第一次购书（x10）本由题意，得 1025整理得 x23解得 156，经检验， ， 都是原方程的根0x2当 时，每本书的批发价为 （元），高于书的定价，不合题意，舍1503去。当 ，每本书的批发价为 （元），低于书的定价，符合题意。x662.因此第

13、二次购书 60 本。(.)0452805281501.)元答：该老板第二次售书赚了 1.2 元钱。解法二：设第一次购书的批发价为 x 元，则第二次的批发价为 元(.)x05由题意，得 1050x.用心 爱心 专心整理得 ，解得2910xx125.，经检验， 都是原方程的根25.，当 时，第二次的批发价为 （元）高于书的定价，不合题意，舍去。. 03.当 时，第二次的批发价为 （元），低于书的定价，符合题意。x25.因此第二次购书： （本）106(.)以下解法同解法一。解法三：设第一次购书 x 本，则第二次购书 本()x10由题意，得 2510整理得 ，解得x2901245，经检验， 都是原方程

14、的根x14，当 时，每本书的批发价为 （元），第二次的批发价为.（元），高于书的定价，不合题意，舍去。53.当 时，每本书的批发价为 （元），第二次的批发价为x005（元）低于书的定价，符合题意。2.因此第一次购书 50 本，第二次购书 501060 （本）。以下解法同解法一。说明：解法一和解法三中的等量关系是“第一次购书单价0.5 元第二次购书单价”；解法二中的等量关系是“第一次购书数量10 本第二次购书数量”，准确地找到等量关系是解好这类应用问题的关键。例 8. 解不等式 ，并在数轴上表示它的解集7312x解：去分母，得 436()去括号，得 9移项后，合并得 1x不等式两边同乘以 11，

15、得 它的解集在数轴上表示如图： -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 说明：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似。应特别注意的是，当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。本题可先去分母，此时不要漏乘，再去括号，然后化成 或 的形式，最后得出解集。axb例 9. 求不等式组 的整数解32451解：解不等式 ，得xx3解不等式 ，得3255不等式组的解集为7其中整数解为1，0，1，2用心 爱心 专心说明：不等式组的解集是组成不等式组的每一个不等式解集的公共部分，因此，解一元一次不等式是解一元一次不等式组的基础，会用数轴表示一元一次不等式的解集是正确求出一元一次不等式组解集的可靠保证。例 10. 已知：关于 x 的方程 有两个不相等的实根，求 k()()kxkx210的取值范围。分析：这道题往往容易把注意力集中在根的判别式上，因而忽视了“二次项系数不等于 0”这一方程条件，使解题出现漏洞，本题虽没有明确指出方程的次数，但从“有两个不相等的实数根”中隐含着方程的次数是 2 这一事实。解： 方程有两个不相等的实数根kk220140()()且3例 11. 解不等式 15x解