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1、1选修选修 4 45 5 不等式选讲不等式选讲考点整合1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)af(x)a；(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；2绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式3基本不等式定理 1：设a，bR R，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理 2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立ab 2ab定理 3：如果a，b
2、，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立abc 33abc定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1、a2、an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立a1a2an nna1a2an4柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(iN N* *)为实数，则(a)(b)(aibi)2，当且仅当ni1 2ini1 2ini1bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|a a|，当且仅当这两个向量同向或反向时等
3、号成立类型一 绝对值不等式例 1 (2016高考全国乙卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.2(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1 的解集解：(1)f(x)|x1|2x3|Error!故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1 时，可得x1 或x3；当f(x)1 时，可得x 或x5.1 3故f(x)1 的解集为x|11 的解集为Error!.解后反思 根据绝对值的意义，分段讨论去绝对值号1(2016高考全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2 时，求不等式f(x)6 的解集；(2)设函数g(x)|2x1|，当xR R 时，f(
4、x)g(x)3，求a的取值范围解：(1)当a2 时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26 得1x3.因此f(x)6 的解集为x|1x3(2)当xR R 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x 时等号成立，所以当xR R 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3.1 2当a1 时，等价于 1aa3，无解当a1 时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)类型二 不等式证明3例 2 (2016高考全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2 的解|x1 2| |x1 2|集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)
5、f(x)Error!当x 时，由f(x)2 得2x2，解得x1；1 2当 x 时，f(x)2；1 21 2当x 时，由f(x)2 得 2x2，解得x1.1 2所以f(x)2 的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.解后反思 不等式的证明可以用综合法、作差法、分析法等2设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；abcd(2)是|ab|cd|的充要条件abcd证明：(1)因为()2ab2，()2cd2，ababcdcd由题设abcd，abcd，得()2(
6、)2.abcd因此.abcd(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得 .abcd若 ，则()2()2，abcdabcd即ab2cd2.abcd因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上， 是|ab|cd|的充要条件abcd4限时规范训练十 选修 41、44、45(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交
7、O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.证明：(1)连接AB，AC，由题设知PAPD，故PADPDA，因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而，因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.2.(2015高考全国卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点5(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积3解：(1
8、)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.3因为OMOE2，DMMN，所以OD1.1 23于是AD5，AB.10 33所以四边形EBCF的面积为 2 (2)2.1 2(10 33)321 233216 333(2015高考全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x
9、2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面 4积解：(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12 42，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为 1，所以C2MN的面积为 .22221 24已知直线l的参数方程为Error!(t为参数)，圆C的参数方程为Error!(为参数)6(1)求直线l和圆C的普通方程；(
10、2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解：(1)直线l的普通方程为 2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，|2a|5解得2a2.555设函数f(x)|xa|(a0)|x1 a|(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围解：(1)证明：由a0，得f(x)|xa| a2，所以f(x)|x1 a|x1 axa|1 a2.(2)f(3)|3a|.|31 a|当a3 时，f(3)a ，1 a由f(3)5 得 3a.5 212当 0a3 时，f(3)6a ，1 a由f(3)5 得a3.1 52综上，a的取值范围是.(1 52，5 212)6若a0，b0，且 .1 a1 bab(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得 2a3b6？并说明理由解：(1)由 ，得ab2，且当ab时等号成立ab1 a1 b2ab2故a3b324，且当ab时等号成立a3b322所以a3b3的最小值为 4.2(2)不存在a，b，使得 2a3b6.理由如下：由知，2a3b24.6ab37由于 46，从而不存在a，b，使得 2a3b6.3
