初三数学复习圆的认识与证明

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1、张家港市第二中学 惠波 邮编 215600 电话 051251293085 信箱 第 1 页 共 9 页初三数学复习圆的认识与证明【知识网络】【考纲通鉴】理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系.了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.了解三角形的内心和外心.了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积.【知识精要】一、圆的认识1圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。2有关概念：弦、直径,弧、等弧、优弧、劣弧、半圆

2、、弦心距、弧、优弧、劣弧。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等圆、同心圆、同圆或等圆的半径相等。3定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。4 （补充）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个；（1）垂直于弦；（2）过圆心；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；(5) 平分弦所对的劣弧。其中重点注意：（2）（3） （1）（4）（5），所平分的弦要不是直径。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。5与圆有关的角

3、：圆心角，圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆圆的基本性质弧、弦、圆心角的关系圆周角定理与推论垂径定理与推论圆的基本性质与圆有关的位置关系基本性质点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆的切线切线性质与识别切线长圆中的计算弧长、扇形面积圆柱、圆锥的全面积、侧面积张家港市第二中学 惠波 邮编 215600 电话 051251293085 信箱 第 2 页 共 9 页圆周角，圆周角定理：一条弧所对的圆周等于它所对的圆心角的一半。注意

4、：一、由于圆特殊的对称性，造成点与圆心相对位置不同，就有可能产生双解情况。1、点 O 是 的外心， 80，则 = . ABCA解析：应考虑外心 O 在 的内部和外部两种情况 =40，1402、点 C 是直径 AB=13 的半圆上的一点， 于 D 点，且 CD=6，则 AD= . BC解析：点 A，D 应分在圆心同侧或异侧，AD=4，93、（江西）O 中，AB 是直径，CD 是弦， ，P 是圆周上一点，判断 与 的数量关系。CPDOB4、（山西）AB，AC 与O 相切于 B、C， =50，点 P 是圆上异于 B、C 的一点，则 的度数是 . A解析：点 P 可能在优弧或劣弧上，故第 3 题 =

5、或 + =180；第 4 题 65，115。O二、凡涉及到有关弦的计算都有可能产生双解,解答它的关键是综合考虑弦与圆心的不同位置，弦所对的弧的不同情况。例如：1、O 中弦 AB 所对的圆心角为 60，则所对的圆周角为 . （30,150）2、O 的半径为 5，圆内接 的底边 AB 长为 8，求 底边上的高 长为 .(8，2)ABCABCD3、O 的半径为 5，弦 ABCD，AB=6，CD=8，求 AB 与 CD 之间的距离 1 或 7.4、(新疆)O 的半径为 10，它的内接梯形的上、下底分别为 12 和 16，则，梯形的面积是 .（28 或196）5、（辽宁）在半径为 1 的O 中，弦 AB

6、，AC 分别为 ，则 的度数为 .（15，75）2,3解析：1、2、应考虑顶点在弦 AB 所对的优弧或劣弧；3、4、5 应考虑两弦在圆心的同侧或异侧。三、圆中的有关计算通常与垂径定理以及解直角三角形知识相联系，注意由半径，弦心距以及弦的一半构成的基本形。二、和圆有关的位置关系1 点与圆的位置关系三种位置及判定与性质：点在圆外：dr；点在圆上：d=r；点在圆内：dr 。切线的判定与性质： (1)垂直于切线;(2)过圆心;(3) 过切点这三条性质中,任意知道两个,就可以推出第三个.切线长，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。三角形的内切圆；

7、内心是三角形角平分线的交点；圆的外切三角形。3圆与圆的位置关系五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)相切（交）两圆连心线的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。两圆的公切线：外公切线，内公切线；公切线的长。注意：一、点与圆有三种位置关系，不同的位置关系，会产生多解情况。1、（河南）点 P 与O 上的点的最短距离为 2，圆的半径为 4，则点 P 与O 上点的最长距离为 .解析：点 P 分在圆内，圆外，故为 6 或 10。2、（四川）已知O 的直径是 6，P 为直线 上一点，OP=3，那么直线 与O 的关系是 .ll张家港市第二中学 惠波 邮编 215600 电话 0512512930

8、85 信箱 第 3 页 共 9 页解析：若 OP 与直线垂直，则直线与圆相切；若不垂直，则直线与圆相交。二、由圆与圆的位置关系不定而产生的多解。1、O 1的半径为 4，O 2的直径为 5，切两圆相切，则圆心距是 ,（1 或 9）解析：两圆分内切与外切。2、（哈尔滨）O 的半径为 ，O的半径为 5，O 与O 相交于点 D、E。若两圆的公共弦 DE 的3长是 6，则两圆的圆心距 OO的长为 .解析：两圆相交时，圆心可在公共弦的同侧或异侧，故长为 2 或 10。三、与圆有关的计算1.弧长：半径为 的圆周中，n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：l=r 180rn2扇形，扇形面积：在半径为 的扇形中，

9、圆心角为 n的扇形面积的计算公式是：S 扇形 =r n r23603圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，则圆锥侧面展开图扇形弧长=l 182母 线lrS 圆锥侧面积 = S 底面 = S 圆锥表面 = S 圆锥侧面积 + S 底面 = +r2r l2四、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧五、基本图形六、重要辅助线1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线（连心线）6.两圆相交公共弦【考点分析】圆是初中几何的重点内容，在各实验区中考中考中约占 10 分左右。其中圆的基本性质考题大多以填空选

10、择与证明形式出现；与圆有关的位置关系，试题强调基础，突出能力，源于教材，知识重组，变中求新，重在培养创新意识，题型有选择、填空、解答、作图等；与圆有关的计算以填空，选择居多，也有少量的计算题.随着对复杂几何证明要求的降低，对圆一章内容的删减，中考中圆的考题难度有明显降低，但结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题型，结合运动的动态型综合题问题，结合函数的函数几何综合题逐渐成为实验区中考的新热点。【考题透视】一、圆的认识1、(泉州市)如图，O 为ABC 的外接圆，直径 AB=10，弦 BC=8，则弦 AC= .解析：直径所对的圆周角是直角，由勾股定理得 AC=6。POABC DDA BC第 2

11、题 第 3 题OABC第 1 题TBAP O第 4 题张家港市第二中学 惠波 邮编 215600 电话 051251293085 信箱 第 4 页 共 9 页2、(杭州市)如图，一圆内切于四边形 ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )A、 50 B、 52 C、54 D、 56解析：由切线长定理易得圆外切四边形的对边和相等，故周长为 52，选 B。3、(浙江省)如图，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是()A、4B、6 C、7D、8解析；连结 AO，转化为解直角三角形问题得 AM=4，由垂径定理得 AB=2AM=8。4、(

12、温州市)如图，PT 切O 于点 T，经过圆心 O 的割线 PAB 交O 于点 A、B，已知 PT4，PA2，则O的直径 AB 等于( )A、3 B、4 C、6 D、8解析：连结 OT，转化为解直角 三角形问题，得 ，故 ，选 C。P3r65、(泰州市)在边长为 3、4、5 的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为_.解析：由切线长定理或面积法易证：直角三角形的直角边 ，斜边 与内切圆半径 ，存在ba,cr，故此圆的半径为 1。rcba26、(丽水市)如图，ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，过点 D 的切线交 BA 的延长线于点 E，若ADE=25，则C= 度解析：连结 D

13、O，则 ，圆内接四边形对角互补得 C=115。 90ODE65OA二、和圆有关的位置关系7、(资阳市课改) 若O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 a，最小距离为 b(ab)，则此圆的半径为 A. B. C. 或 D. a+b 或 a-b （ ）2ab2ab解析：需考虑点 P 在圆内与圆外两中情况，选 C。8、(浙江省)已知O 的半径为 8， 圆心 O 到直线 l 的距离是 6， 则直线 l 与O 的位置关系是 解析：由 d3、如图, B 为线段 AD 上一点, ABC 和 BDE 都是等边三角形,连结 CE 并延长交 AD 的延长线于点 F, ABC的外接圆 O 交 CF 于点

14、M.（1）求证： BE 是 O 的切线；（2）求证： AC2 CMCF；（3）若 CM 7,MF 1,求 BD；（4）若过点 D 作 DG BE 交 EF 于点 G,过 G 作 GH DE 交 DF 于点 H,则易知 DGH 是等边三角形.设等边 ABC、 BDE、 DGH 的面积分别为 S1、 S2、 S3,试探究 S1、 S2、 S3之间的等量关系,请直接写出其结论.（1）证明：连结 OB ABC 和 BDE 都是等边三角形 AB BC AC， CAB ABC EBD60且 OBC30又 CBE180606060 OBE306090即 OB BE BE 是 O 的切线（2）证明：（方法一）

15、连结 AM 则 AMC ABC CAF60又 ACM FCA ACM FCA ACMF CF2（方法二）连结 BM，证 BCM FCB（略）（3）由 AC2，可求得 AC2设 FB x,由 FBFA FMFC，得 721)(x解得 ,4x6（舍去）FB4由 EB AC，得 FBE， 642 BE 3 BD（4） 312S或 3214、已知，如图，直角坐标系内的矩形 ABCD， 顶点 A 的坐标为（0，3） ，BC2AB，P 为 AD 边上一动点（与点 A、D 不重合） ，以点 P 为圆心作P 与对角线 AC 相切于点 F，过 P、F 作直线 L，交 BC 边于点 E ，当点 P 运动到点 P1位置时，直线 L 恰好经过点 B，此时直线的解析式是 y2x1求 BC、AP 1的长；设 APm，梯形 PECD 面积为 S，求 S 与