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1、人教版人教版 必修四必修四2.3.3 平面向量的坐标运算（结）一、向量的几何表示与坐标表示之间的转化 在平面直角坐标系内，每一个向量都可以用一个有序实数对表示，即坐标可以把向量的起点 平移到坐标原点，看其终点坐标即可，也可以把一个向量分解到两个轴上，看其对应的实数 对. 例 1. 在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分 别计算出它们的坐标【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、纵坐标的形式 【解】 设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则 a1|a|cos452，a2|a|sin452；b1|b|cos1
2、203( ) ，2222221232b2|b|sin1203；323 32c1|c|cos(30)42，323c2|c|sin(30)4( )2.12因此 a(，)，b( ，)，c(2，2)22323 323【点评】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位置无关. （2）利用任意角的三角函数定义，若 a=（a1,a2）,a 的方向相对于 x 轴正向的转角为，则 有 a1= |a|cos , a2= |a|sin 二、 平面向量的坐标运算 例 2 已知 a(1,2)，b(2,1)，求： (1)2a3b；(2)a3b；(3)ab. 【分析】 解答本题可先是数乘向量的坐标
3、运算，再是向量坐标的加减运算 【解】 (1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3) a b (1,2) (2,1)12131213( ，1)( ， )( ， )1223137623【点评】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点 的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使 用三、平面坐标运算的综合应用 给出了向量的另一种表示坐标表示式，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标 来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来
4、，这样许多几何问题的解 决就可以转化为我们熟知的数量运算 例 3 已知平面上三个点的坐标分别为 A(3,7)，B(4，6)，C(1，2)，求点 D 的坐标，使得这 四个点为构成平行四边形的四个顶点 【分析】 A、B、C、D 四个点能构成平行四边形的情况有三种：四边形 ABCD 为平行四边形， 四边形 ABDC 为平行四边形，四边形 ADBC 为平行四边形 【解】 设点 D 的坐标为(x，y)(1)当平行四边形为 ABCD 时， ，AB DC (4,6)(3,7)(1，2)(x，y)， Error!Error!D(0，1)； (2)当平行四边形为 ABDC 时，仿(1)可得 D(2，3)；(3)当平行四边形为 ADBC 时，仿(1)可 得 D(6,15) 综上可知，D 点可能为(0，1)或(2，3)或(6,15) 【点评】 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形是代数运算法则的直观含义，坐 标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题
