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1、人教版必修四人教版必修四 2. 1 平面向量的实际背景及基本概念（练） 一、选择题 1如图所示，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则以图中点 A、B、C、D、E、F、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量 OA 共线的向量共有( ) OA A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 答案 D 解析 与向量共线的向量有：， ， ， ， ，故共有 9 个 OA OD DO AD DA EF FE BC CB AO 2在下列判断中，正确的是( ) 长度为 0 的向量都是零向量； 零向量的方向都是相同的； 单位向量的长度都相等； 单位向量都是同方向； 任意向
2、量与零向量都共线 A B C D 答案 D 解析 由定义知正确，由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能 确定是哪个具体方向，故不正确显然，、正确，不正确，所以答案是 D. 3若|且，则四边形 ABCD 的形状为( ) AB AD BA CD A平行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形 答案 C 解析 ，四边形 ABCD 为平行四边形， BA CD 又|，四边形为菱形 AB AD 4已知圆心为 O 的O 上三点 A、B、C，则向量、是( ) BO OC OA A有相同起点的相等向量 B长度为 1 的向量 C模相等的向量 D相等的向量 答案 C 解析 圆的半径 r|不一定为 1，故选 C
3、. BO OC OA 5下列关于向量的结论： (1)若|a|b|，则 ab 或 ab； (2)向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； (3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； (4)若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab. 其中正确的序号为( ) A(1)(2) B(2)(3) C(4) D(3) 答案 D 解析 (1)中只知|a|b|，a 与 b 的方向不知，故(1)不对；不要让实数的性质|x|a，则 xa，错误迁移到向量中来 (2)没告诉是非零向量，故(2)不对，因为零向量的方向是任意的 (3)正确对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意
4、移动的，因此相等向 量可以起点不同 (4)向量与数不同，向量不能比较大小 6四边形 ABCD、CEFG、CGHD 都是全等的菱形，HE 与 CG 相交于点 M，则下列关 系不一定成立的是( ) A| AB EF B.与共线 AB FH C.与共线 BD EH D.与共线 DC EC 答案 C 解析 三个四边形都是菱形，|，ABCDFH，故与共线，又三点 AB EF AB FH D、C、E 共线，与共线，故 A、B、D 都正确当 ABCD 与其它两个菱形不共面时， DC EC BD 与 EH 异面 7下列命题正确的是( ) A向量 a 与 b 共线，向量 b 与 c 共线，则向量 a 与 c 共
5、线 B向量 a 与 b 不共线，向量 b 与 c 不共线，则向量 a 与 c 不共线 C向量与是共线向量，则 A、B、C、D 四点一定共线 AB CD D向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 答案 D 解析 当 b0 时，A 不对；如图 a，c，b 与 a，b 与 c 均不共线，但 a 与 c AB BC 共线，B 错 在ABCD 中，与共线，但四点 A、B、C、D 不共线，C 错； AB CD 若 a 与 b 有一个为零向量，则 a 与 b 一定共线，a，b 不共线时，一定有 a 与 b 都是非 零向量，故 D 正确 8下列说法正确的是( ) 向量与是平行向量，则 A、B、
6、C、D 四点一定不在同一直线上 AB CD 向量 a 与 b 平行，且|a|b|0，则 ab0 或 ab0 向量的长度与向量的长度相等 AB BA 单位向量都相等 A B C D 答案 D 解析 对于，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故错 对于，由于|a|b|0，a，b 都是非零向量，ab，a 与 b 方向相同或相反， ab0 或 ab0. 对于，向量与向量方向相反，但长度相等 AB BA 对于，单位向量不仅仅长度为 1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相 同选 D. 二、填空题 9如图 ABCD 是菱形，则在向量、 、和中，相等的有_对 AB BC CD DA D
7、C AD 答案 2 解析 ，.其余不等 AB DC BC AD 10给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a|b|，则 ab； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段； (5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若 ab，bc，则 ac； (7)若 ab，bc，则 ac； (8)若四边形 ABCD 是平行四边形，则，. AB CD BC DA 其中正确命题的序号是_ 答案 (5)(6) 解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定； (2)该命题不正确，|a|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位
8、长度 1，而对方向没要求； (4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来； (5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必 重合； (6)该命题正确由向量相等的定义知，a 与 b 的模相等，b 与 c 的模相等，从而 a 与 c 的模相等；又 a 与 b 的方向相同，b 与 c 的方向相同，从而 a 与 c 的方向也必相同，故 ac； (7)该命题不正确因若 b0，则对两不共线的向量 a 与 c，也有 a0,0c，但 a c； (8)该命题不正确如图所示，显然有，. AB CD BC DA 11已知 A、B、C 是不共线的三点，向量
9、 m 与向量是平行向量，与是共线向量， AB BC 则 m_. 答案 0 解析 A、B、C 不共线，与不共线， AB BC 又m 与、都共线，m0. AB BC 三、解答题 12如图所示，点 O 为正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正方 形 在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； AO BO (2)写出与共线的向量； AO (3)写出与的模相等的向量； AO (4)向量与是否相等？ AO CO 解析 (1)，； AO BF BO AE (2)与共线的向量为：，； AO BF CO DE (3)|； AO CO DO BO BF CF AE DE (4
10、)不相等 13如图所示，四边形 ABCD 中，N、M 是 AD、BC 上的点，且. AB DC CN MA 求证：. DN MB 解析 ， AB DC |且 ABCD. AB DC 四边形 ABCD 是平行四边形|，且 DACB. DA CB 又与的方向相同， DA CB . CB DA 同理可证：四边形 CNAM 是平行四边形，. CM NA |，|， CB DA CM NA |，DNMB，即与的模相等且方向相同. MB DN DN MB DN MB 14如图所示，43 的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的 顶点处的向量中，试问： (1)与相等的向量共有几个； AB
11、(2)与平行且模为的向量共有几个？ AB 2 (3)与方向相同且模为 3的向量共有几个？ AB 2 分析 非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反 解析 (1)与向量相等的向量共有 5 个(不包括本身) AB AB (2)与向量平行且模为的向量共有 24 个 AB 2 (3)与向量方向相同且模为 3的向量共有 2 个 AB 2 15如图所示，已知ABCD，AOBE，ACFB，ACGD，ACDH，点 O 是ABCD 的对 角线交点，且a，b，c. OA OD AD (1)写出图中与 a 相等的向量； (2)写出图中与 b 相等的向量； (3)写出图中与 c 相等的向量
12、解析 (1)在OAEB 中，a；在ABCD 中，a，所以 a. OA BE CO OA BE CO (2)在ABCD 中，b；在AOBE 中，b，所以 b. BO OD EA BO EA BO (3)在ABCD 中，c；在ACGD 中，c，所以 c. BC AD CG AD BC CG 16已知飞机从甲地按北偏东 30的方向飞行 2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30 的方向飞行 2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行 1000km 到达丁地，问丁地在甲 2 地的什么方向？丁地距甲地多远？ 解析 如图所示，A、B、C、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角 形 ABC 为正三角形， AC2000km. 又ACD45，CD1000，ACD 为直角三角形， 2 即 AD1000km，CAD45. 2 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000km. 2
