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1、（小结）3.2 古 典 概 型基本事件的计数问题例 1 做投掷 2 颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中 x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第 2 颗骰子出现的点数写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于 8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于 7”自主解答 (1)这个试验的基本事件共有 36 个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3
2、)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(2)“出现点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(3)“出现点数相等”包含以下 6 个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)(4)“出现点数之和等于 7”包含以下 6 个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1
3、)求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来解决，并注意以下几个方面：(1)用列举法时要注意不重不漏；(2)用列表法时注意顺序问题；(3)树状图若是有顺序问题时，只做一个树状图后，乘以元素个数1一个口袋内装有除颜色外其他均相同的 1 个白球和已经编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球，求：(1)基本事件总数，并写出所有的基本事件(2)事件“摸出 2 个黑球”包含的基本事件是多少个？(3)摸出 2 个黑球的概率是多少？解：(1)从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球，基本事件总数为 6，分别是：(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 1，白)，(黑 2，黑 3)，(黑 2，白)，
4、(黑 3，白)(2)事件“从 3 个黑球中摸出 2 个黑球”(黑 1，黑 2)，(黑 2，黑 3)，(黑 1，黑 3)，共 3 个基本事件(3)基本事件总数 m6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数 n3，故 P .nm3612古典概型概率的求法例 2 袋中有 6 个球，其中 4 个白球，2 个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球 1 个是白球，另一个是红球自主解答 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6.袋中的 6 个小球中任取 2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(
5、2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种(1)从袋中的 6 个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从 4 个白球中任取两个取法总数，共有 6 种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)取出的两球都是白球的概率为 P(A) .61525(2)从袋中的 6 个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共 8 种取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为 P(
6、B).8151求古典概型的计算步骤：(1)算出基本事件的总数 n；(2)算出事件 A 包含的基本事件的个数 m；3算出事件A的概率PAmn.2.使用古典概型概率公式应注意 1首先确定是否为古典概型； 2A事件是什么，包含的基本事件有哪些.2甲、乙两人做出拳游戏(锤子，剪刀，布)求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率解：设平局为事件 A，甲赢为事件 B，乙赢为事件 C.容易得到下图(1)平局含 3 个基本事件(图中的)，P(A) .3913(2)甲赢含 3 个基本事件(图中的)，P(B) .3913(3)乙赢含 3 个基本事件(图中的)，P(C) .3913与古典概型有关的综合
7、问题例 3 设有关于 x 的一元二次方程 x22axb20.若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率自主解答 设事件 A 为“方程 x22axb20 有实根”当 a0，b0 时，方程 x22axb20 有实根的条件 ab.基本事件共 12 个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 9 个基本事件，为(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0
8、)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，故事件 A 发生的概率为 P(A) .912341注意放回与不放回的区别2在古典概型下，当基本事件总数为 n 时，每个基本事件发生的概率均为 ，要求事件1nA 的概率，关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 中所包含的基本事件数 m，再由古典概型概率公式 P(A) 求事件 A 的概率mn3将一枚均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b，c，则关系 x 的方程 x2bxc0 有实根的概率为( )A. B.193612C. D.591736解析：由题知(b，c)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)
9、，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 36 种基本事件若关于 x 的方程 x2bxc0 有实根，则 b24ac0，即 b24c0，以上 36 个基本事件中满足 b24c0 的有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)
10、，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共 19 种基本事件设关于 x 的方程 x2bxc0 有实根的概率为 P，则 P.1936答案：A一枚硬币连掷 3 次，求出现正面的概率解 设事件 A 表示“掷 3 次硬币，出现正面”法一：一枚硬币连掷 3 次，基本事件有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)，(反，反，反)，共 8 个基本事件而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且事件 A 包含(正，反，反)，(反，正，反
11、)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)，共 7 个基本事件因此 P(A) .78法二：设事件 A1表示“掷 3 次硬币，有 1 次出现正面”，事件 A2表示“掷 3 次硬币，有 2 次出现正面”，事件 A3表示“掷 3 次硬币，有 3 次出现正面”，事件 A 表示“掷 3 次硬币，出现正面”AA1A2A3，容易得出 P(A1) ，P(A2) ，P(A3) ，又因为383818A1、A2、A3彼此是互斥的，所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) .38381878法三：设事件 A 表示“掷 3 次硬币，出现正面”，则 表示“掷
12、3 次硬币，3 次均出现反A面”，且 P( ) .A18P(A)P( )1，AP(A)1P( )1 .A18781下列试验中，是古典概型的有( )A种下一粒种子观察它是否发芽B从直径为 250 mm0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径 dC抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D某人射击中靶或不中靶解析：古典概型有两大特征，即(1)有限性，试验中所有可能出现的基本事件有有限个；(2)等可能性，每个基本事件出现的可能性相等上述选项中，只有 C 具有上述特征答案：C2抛掷一枚骰子，观察向上的点数，则该试验中，基本事件的个数是( )A1 B2C4 D6答案：D3(2012安徽高考)袋中共有
13、 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A. B. C. D.15253545解析：标记红球为 A，白球分别为 B1、B2，黑球分别为 C1、C2、C3，记事件 M 为“取出的两球一白一黑”则基本事件有：(A，B1)、(A，B2)、(A，C1)、(A，C2)、(A，C3)、(B1，B2)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)、(C1，C2)、(C1，C3)、(C2，C3)，共 15 个其中事件 M 包含的基本事件有：(B1，C1)、(B1，C2)、(B
14、1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)，共 6 个根据古典概型的概率计算公式可得其概率为 P(M) .61525答案：B4有一栋楼共 6 个单元，小玉与小刚都在此楼内，他们在此楼同一单元的概率为_解析：设(m，n)表示小玉与小刚的居住情况，其中 m 为小玉所住的单元，n 为小刚所住的单元，则小玉与小刚的住法为：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)
15、(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共 36 种情况，而他们在同一单元的情况为：(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)共 6 种情况，所以他们在此楼同一单元的概率为 .63616答案：165从分别写有数字 1,2,3，9 的 9 张卡片中，任意取出 2 张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为_解析：从 9 张卡片中任取两张有 8765432136 种取法积为完全平方数时有(1,4)，(1,9)，(2,8)，(4,9)共 4 种，故所求概率为 .43619答案：196用红、黄、蓝三种不同颜色给 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：3 个矩形颜色都不同的概率解：所有可能的基本事件共有 27 个，如图红Error! 蓝Error! 黄Error!设“3
