《2016届高三数学一轮复习知识点归纳与总结：定积分与微积分的基本定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届高三数学一轮复习知识点归纳与总结：定积分与微积分的基本定理（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第十四节 定积分与微积分基本定理备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题2.考查简单定积分的求解如 2012 年江西 T11 等3.考查曲边梯形面积的求解如 2012 年湖北 T3，山东T15，上海 T13 等4.与几何概型相结合考查如 2012 年福建 T6 等.归纳知识整合1定积分(1)定积分的相关概念在f(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)b a叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式(2)定积分的几何意义
2、当函数 f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分f(x)dx 的几何意义是由直线b axa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)一般情况下，定积分f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线b axa，xb 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的基本性质kf(x)dxkf(x)dx.b ab af1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.b ab ab af(x)dxf(x)dxf(x)dx.b ac ab c探
3、究 1.若积分变量为 t，则f(x)dx 与f(t)dt 是否相等？b ab a2提示：相等2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算3定积分f(x)g(x)dx(f(x)g(x)的几何意义是什么？b a提示：由直线 xa，xb 和曲线 yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积2微积分基本定理如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F
4、(a)，b a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便，常把 F(b)F(a)记成 F(x) ，即|b af(x)dxF(x) F(b)F(a)b a|b a自测牛刀小试1.dx 等于( )4 21xA2ln 2 B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：选 D dxln xError!ln 4ln 2ln 2.4 21x4 22(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为 V(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为( )A. B.176143C. D.136116解析：选 A S(t2t2)dtError!.2 12 11763(教材习题改编)直线 x
5、0，x2，y0 与曲线 yx2所围成的曲边梯形的面积为_解析：x2dx x3Error! .2 0132 083答案：834(教材改编题)dx_.1 0 1x2解析：由定积分的几何意义可知，dx 表示单位圆 x2y21 在第一象限内部1 0 1x23分的面积，所以dx .1 0 1x214答案： 145由曲线 y ，直线 yx 所围成的封闭图形的面积为_1x52解析：作出图象如图所示解方程组可得交点为 A，B，所(12，2)(2，12)以阴影部分的面积，Error!Error!dx2 1 22ln 2.(12x252xln x)2 1 2158答案：2ln 2158利用微积分基本定理求定积分例
6、 1 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x22x1)dx；(2)(sin xcos x)dx；2 1 0(3)x(x1)dx；(4)dx；2 02 1(e2x1x)(5) sin2dx.2 0 x2自主解答 (1)(x22x1)2 1dxx2dx2xdx1dxError!x2Error!xError!.2 12 12 1x332 12 12 1193(2)(sin xcos x)dx 0sin xdxcos xdx 0 0(cos x)Error!sin xError!2. 0 0(3)x(x1)dx(x2x)dx2 02 04x2dxxdx x3Error! x2Error!2 02
7、0132 0122 0.(13 230) (12 220)143(4)dxe2xdxdx2 1(e2x1x)2 12 11x e2xError!ln xError! e4 e2ln 2ln 1122 12 11212 e4 e2ln 2.1212(5) sin2 dxdx2 0 x22 0 (1212cos x)dxcos xdx2 0 12122 0 x sin x .122 0122 041224求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(
8、3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值1求下列定积分：(1)|x1|dx；2 0(2) dx.2 0 1sin 2x解：(1)|x1|Error!故|x1|dx(1x)dx(x1)dx2 01 02 1Error!Error!(xx22)1 0(x22x)2 15 1.1212(2) dx2 0 1sin 2x|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx2 0 4 0 24(sin xcos x)(cos xsin x) 4 0 241(1)22.222利用定积分的几何意义求定积
9、分例 2 dx_.1 0 x22x自主解答 dx 表示 y与 x0，x1 及 y0 所围成的图形1 0 x22xx22x的面积由 y得(x1)2y21(y0)，x22x又0x1，y与 x0，x1 及 y0 所围成的图形为 个圆，其面积为 .x22x144dx .1 0 x22x4在本例中，改变积分上限，求dx 的值2 0 x22x解：dx 表示圆(x1)2y21 在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，2 0 x22x所以dx . 2 0 x22x2利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面
10、积的大小关系来比较定积分值的大小2(2013福建模拟)已知函数 f(x)(cos tsin t)dt(x0)，则 f(x)的最大值为x 06_解析：因为 f(x)sindtx 0 2(4t)cosError!coscos 2(4t)x 02(4x)24sin xcos x1sin11，2(x4)2当且仅当 sin1 时，等号成立(x4)答案：12利用定积分求平面图形的面积例 3 (2012山东高考)由曲线 y，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )xA. B4103C. D6163自主解答 由 y及 yx2 可得，x4，即两曲线交于点(4,2)由定积分的几何x意义可知，由 y及 y
11、x2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为x(x2)dxError!.4 0x(23x3212x22x)4 0163答案 C若将“yx2”改为“yx2” ，将“y 轴”改为“x 轴” ，如何求解？解：如图所示，由 y及 yx2 可得 x1.由定积分的几何x意义可知，由 y，yx2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为xf(x)dxdx(x2)dx xError!Error!2 01 0 x2 1233 21 0(2xx22)2 1 . 76利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限7(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和
12、或差(4)计算定积分，写出答案3(2013郑州模拟)如图，曲线 yx2和直线 x0，x1，y 所围成的14图形(阴影部分)的面积为( )A. B. 2313C. D.1214解析：选 D 由Error!x 或12x (舍)，所以阴影部分面积12Sdxdx1 2 0(14x2)1 1 2(x214) .(14x13x3)1 2 0(13x314x)1 1 214定积分在物理中的应用例 4 列车以 72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度 a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？自主解答 a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.设 t s 后的
13、速度为 v，则 v200.4t.令 v0，即 200.4 t0 得 t50 (s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为 s，则 svdt(200.4t)dt50 050 0(20t0.2t2)Error!50 020500.2502500(m)，即列车应在进站前 50 s 和进站前 500 m 处开始制动1变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 vv(t)(v(t)0)，那么物体8从时刻 ta 到 tb 所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时b a间 t 的函数是 vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻 ta 到 tb 所经
14、过的路程为v(t)dt.b a2变力做功问题物体在变力 F(x)的作用下，沿与力 F(x)相同方向从 xa 到 xb 所做的功为F(x)dx.b a4一物体在力 F(x)Error!(单位：N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向运动了 4 米，力F(x)做功为( )A44 J B46 JC48 J D50 J解析：选 B 力 F(x)做功为10dx(3x4)dx2 04 210xError!Error!2 04 2202646.1 个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算3 条性质定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行3 个注意定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分
