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1、1浦东新区 2015 学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案） 2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有 32 道试题，满分 150 分，考试时间 130 分钟.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）只要求直接填写结果，每个空格填对得 3 分， 否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1已知集合，则 =3 ,2Ax xBx xRAC B I2,32已知向量平行，则 2,1 ,(1,)abm rr m 1 23关于的一元二次方程组的系数矩阵 , x y23122xyxy 23 12 4计算： 1132lim32
2、nnnnn35若复数满足（ 为虚数单位），则 z101 2i iziz 56的二项展开式中的第八项为 1021x3960x7某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距海里.船由向正北方AB30A6.0A向航行海里达到处，这时灯塔与船相距_海里（精确到 0.1 海里）8.1CB4.28已知，则 3cos(),252sin334 3 109如图，已知正方体，为棱1111DCBAABCD 21AAE的中点，则与平面所成的角1CCAE11BCCB为（，）（结果用反三角表示）552arctan2arcsin35arccos310已知函数的图像与的图像关于直线对称，令，( )f x( )2xg x yx(
3、 )(1)h xfx则关于函数有下列命题：( )h xA1D1C1B1AEDCB2的图像关于原点对称； 的图像关于轴对称；( )h x( )h xy的最大值为； 在区间上单调递增。( )h x0( )h x( 1,1)其中正确命题的序号为_（写出所有正确命题的序号）。11有一列向量：如果从第二项起，每一 nau u r111222( ,),(,),(,),nnnax yaxyaxyu ru u ru u r L项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列， nau u r满足，那么这列向量中模最小的向量的序号_1( 20,13)a u r3( 18,15)a ur
4、 nau u r n 或_。4512已知则与图像交点的横坐标之和为 32sin,1,f xx g xx f x g x_17_. 二、选择题（本大题共有 12 题，满分 36 分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个 选项是正确的，选对得 3 分，否则一律得零分.13如果，那么下列不等式中不正确的是（ B 0ab ）( )A11 ab( )B11 ab( )C2abb()D2aab14设且，是成立的（ A :1x2y :3xy ）充分非必要条件 必要非充分条件( )A( )B充要条件 既非充分又非必要条件( )C()D15方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（ D 2244kxykxk
5、）( )A4k ( )B4k ( )C4k ()D04k16甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（ C ）( )A1 4( )B1 3( )C1 2()D1 617直线与圆的位置关系是（ B 0axby220xyaxby） 相交 相切相离 不能确定( )A( )B( )C()D18某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的, ,10,11,9x y平均数为 10，方差为 2，则的值为（ xyA ）4 3 2 1( )A( )B( )C()D19设函数满足，当时，则( )()f x xR()( )sinf xf xx0x( )0f x 3（ A 23()
6、6f）( )A1 2( )B3 2( )C0()D1 220如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于 ( D )S( )ASS 2( )BSS 2( )CSS 4()DSS 421已知函数存在反函数，若函数过点，则函数( )f x1( )fx1yf x3,3恒过 1fx点（ B ）( )A4,3( )B3,4( )C3,2()D2,322一个弹性小球从 10 米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹4 5回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的4 5 总路程 为（ C ）50 8090 100( )A( )B( )C()D23符
7、合以下性质的函数称为“函数”：定义域为，是奇函数，SR( )f x（常数），在上单调递增， 对任意一个小于的正数，( )f xa0a ( )f x(0,)ad至少存在一个自变量，使。下列四个函数中 ， 0x0()f xd12( )arctanaf xx，中“函数”的个数22( )1ax xfxx310( )00 10axx fxxaxx 421( )21xxfxaS为（ D ）1 个 2 个3 个 4 个( )A( )B( )C()D24将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角 形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心4为点O，其中分别为点O到两个顶
8、点的向量. 若将点O到正六角星 12 个顶点的向量，, x yr u r都写成为的形式，则ab的最大值为（ C ）axbyru r3 45 6( )A( )B( )C()D三、解答题（本大题共有 8 题，满分 78 分）解答下列各题必须写出必要的步骤注：其他解法相应给分 25（本题满分 8 分）已知交与点，分别OC,OB,OAOOB/AD21F,E为的中点.OC,BC求证：平面/DEAOC证明：在中，因为分别为的中点，OBCF,EOC,BC所以2 分1/ /2FEOB又因为，所以由平行公理和等量代换知，1/ /2ADOB/ /FEAD所以四边形是平行四边形4 分ADEF所以6 分AF/DE又因
9、为平面，所以平面8 分AF AOC/DEAOC26（本题满分 8 分）已知函数,将函数的图像向右平移个单位，再把横坐标缩( )2sinf xx( )yf x6短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求函数的解析式，1 2( )yg x( )yg x并写出它的单调递增区间解：由，将函数的图像向右平移个单位，得2( )yf x( )yf x62sin()6yx分 再把横坐标缩短到原的（纵坐标不变），得到。41 2( )2sin(2)6g xx分由，可得222,262kxkkZ,63kxkkZ所以的单调递增区间为8 分( )yg x,63kkkZ27（本题满分 8 分，第 1 小题 4 分、第 2
10、 小题 4 分）已知两个向量2221 log,log,log,1axxbxrrABODFEC5（1）若，求实数的值；abrr x（2）求函数的值域。1( ),24f xa b xr r解：（1） 222,1 logloglog0abxxxrr Q22log(log2)0xx22log0log2xx 或经检验为所求的解；4 分114xx或（2）由条件知2 222( )log(log2)log11f xxxx21,2 ,log2,14xx Q2 22log11,2log10,4xx 所以值域为。8 分1,328（本题满分 10 分，第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分)已知数列的前项的和，
11、nan231 22nSnn（1）求的通项公式； nana（2）当时，恒成立，求的取值范围.2n nnaa1解: （1）QnSnn21 2322 分231nSSannn2n当时也成立, 1n11a 23 nan（2） nnaa12313nn ) 1(32313 nnn设 nb ) 1(32313 nnnnnbb1 nnn 34313 ) 1(32313 nnn 132313 nnnn0的最小值为,.nb328 2b32829（本题满分 14 分，第 1 小题 4 分、第 2 小题 5 分、第 3 小题 5 分） 在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称xOy),(00yxP: l0cbyax6为
12、点到直线的方向距离。0022axbycab ),(00yxP: l0cbyax（1）设椭圆上的任意一点到直线1422 yx),(yxP的方向距离分别为，求的取值范围。02:,02:21yxlyxl21、21（2）设点、到直线 ：的方向距离分别为)0 ,( tE )0 ,(tFl02sin2cosyx、，试问是否存在实数 ，对任意的都有成立？若存在，求出 的值；不12t121t 存在，说明理由。（3）已知直线 ：和椭圆：（），设椭圆l0nymxE12222 by ax0 ba的两个焦点到直线 的方向距离分别为、满足，且直线 与轴的E21,FFl122 21blx交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小。AyBABab解答：（1）由点在椭圆上，所以),(yxP1422 yx 412 2xy由题意、，于是2 分521yx 522yx 542 5422221xyx又得，即4 分22x402 x54 5421（也可以先求出，再利用基本不等式易得）58 5)4(222 2 22 1yx54 5421（2）假设存在实数 ，满足题设，t由题意， 221sin4cos2cost 222sin4cos2cost于是6 分1sin4cos)2cos
