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1、3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律,主要内容：,1. 刚体绕定轴转动的角动量定理,2. 角动量守恒定律,3. 角动量守恒定律在工程技术上的应用,3.5.1 刚体绕定轴转动的角动量定理,质点系的角动量定理和角动量守恒定律,质点系对参考点O 的角动量,1. 质点系的角动量,O,2. 质点系的角动量定理,微分形式,积分形式,质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量,说明,质点系的内力矩不能改变质点系的角动量,(所有质点的角动量之和),3. 质点系动量矩守恒定律,对质点系,4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）,投影形式,以 z 轴为例,如,4. 质点系角动量在 z 轴
2、的投影（关于 z 轴角动量）,A,若质点作平面运动，z 轴垂直运动平面，则,显然，结论与O在 轴上的位置无关.,质点系：,（指出各部分的含义）,m,（针对刚体进行讨论）,刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1. 刚体定轴转动的角动量,(所有质元对Z轴的角动量之和),2. 刚体定轴转动的角动量定理,（角动量定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量,3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律,讨论：质点系角动量守恒,变形体绕某轴转动时，则变形体对该轴的动量矩,演示,角动量守恒时，J变大，则角速度变小；J变小，则角速度变大。,动量矩守恒举例,花样滑冰 跳水 芭蕾舞等通过改变身
3、体姿态（转动惯量）来改变转速,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？,在非定轴转动的情况下，只要作用于物体的外力对过质心轴的合外力矩为零，则对该轴的角动量保持不变。,刚体绕定轴转动的动能定理 合力矩功的效果,（刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）,（刚体绕定轴转动的动能定理）,刚体的重力势能,含有刚体的力学系统的机械能,当 A外 + A非保内 = 0 时，有,定轴转动刚体的机械能:,质点系的角动量定理,(微分形式
4、),(积分形式),质点系动量矩守恒定律,投影形式:,质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）,刚体定轴转动的角动量（关于 z 轴角动量）,(所有质元对Z轴的角动量之和),刚体定轴转动的角动量定理,（角动量定理积分形式）,刚体定轴转动的角动量守恒定律,例,关于 O 点？,关于 A 点？,关于 Z 轴？,分析人和转盘组成的系统当双臂由r1变为r2后，系统转动惯量、转动角速度和机械能的变化情况。,由角动量守恒，有,非保守内力作正功，机械能增加。,得,系统机械能的变化,3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用,陀螺仪与导航,支架S 外环 陀螺G 内环,陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚
5、重的对称刚体。,陀螺仪的特点：具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯量。,陀螺仪的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。,演示,直升机螺旋桨的设置,尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。,对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动
6、量仍然为零。,演示,刚体绕定轴转动的动能定理 合力矩功的效果,（刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）,（刚体绕定轴转动的动能定理）,刚体的重力势能,含有刚体的力学系统的机械能,当 A外 + A非保内 = 0 时，有,定轴转动刚体的机械能:,质点系的角动量定理,(微分形式),(积分形式),质点系动量矩守恒定律,投影形式:,（绕定轴的转动）,3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用,陀螺仪与导航,进动现象,现象: 陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，横杆也会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动。,进动: 高速转动物体的自转轴绕另一轴线的旋转运动形式。,3.6 进 动,进动效应的理论分析,
7、陀螺的角动量近似为,角动量定理,只改变方向，不改变大小(进动),进动的方向：. ., 进动角速度,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,角动量定理,炮弹飞行姿态的控制：炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线）,进动特性的技术应用,翻转,外力,外力,进动,一质量为m，长度为l的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m0的橡皮泥以速度v0与细杆在其3l/4处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起。,(1) 碰撞后系统的角速度； (2) 碰撞后细杆能上摆的最大角度q0。,(1)碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒,例,解,求,有,(2) 上摆过程机械能守恒，则有,
8、如图，在光滑水平面上放一质量为m、长为l的均质细棒，细棒可绕中心固定的光滑竖直轴转动，细棒开始静止。若有一质量为m0 的小球，以垂直于细棒的水平速度v0冲击细棒的一个顶端，设冲击是完全弹性碰撞。,碰撞后小球的反弹速度v和细棒的角速度w。,例,解,求,外力对转轴C的合外力矩为零，碰撞时系统角动量守恒，有,由于碰撞是完全弹性碰撞，系统机械能守恒，则,设子弹与细棒以初速v0接触相碰时为起始状态，子弹以速度v0/4穿出棒时为末状态（用两种不同的解法）。,如图，一质量为m1，长度为l的均质细棒，可绕过其顶端的光滑水平轴自由转动。质量为m2的子弹以水平速度v0射入静止的细棒下端，穿出后子弹的速度减小为v0
9、/4。,子弹穿出后棒所获得的角速度w。,解,求,例,(1)应用动量定理和角动量定理求解,设棒对子弹的阻力为F，对子弹应用动量定理,(1),子弹对细棒的冲击力为F,对细棒应用角动量定理,(2),(2),(1),比较式(1)和式(3) 得,式(2)变为,(3),(2) 应用系统角动量守恒定律求解,由此解得,所以,且,讨论 水平方向动量守恒,？,？,v0/4。,一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动,O,r,昆虫落到
10、杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零（忽略重力力矩），角动量守恒,例,解,求 昆虫沿杆爬行的速度。,使杆以匀角速度转动,代入得,角动量定理,其中,如图，一个质量为m1，半径为R 的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为m2的人站在转台的边缘，开始时，人和转台都相对于地面静止。,解,求,例,当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度。,取人和转台作为系统。系统所受合外力矩为零，角动量守恒。,设人和转台对地角速度分别为和，则,当人在转台上走动一周时，人对转台走过2，对地走过,分三个物理过程计算,如图，一根长为l, 质量为m1的均质细杆,可绕其一端的水平轴
11、O作无摩擦转动。现将另一端悬挂于一劲度系数为k的轻弹簧下端，开始时细杆静止并处于水平状态。有一质量为m2的小球（m2 m1）从距杆h高处落到杆的中点，并粘于杆上和它一起运动。设杆旋转微小角度后，角速度就减小到零。,此时弹簧的伸长量。,解,求,例,小球未落下时，细杆处于平衡状态，设此时弹簧的伸长量为x0，则有,(1),(2),(1) 小球与杆接触前的一瞬间，有,(2) 小球和细杆发生完全非弹性碰撞过程，忽略小球重力的力矩，则系统角动量守恒。设系统绕轴转动的角速度为 ，则有,(3) 杆与球碰撞后系统的下降过程机械能守恒，有,总伸长量为,质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较,质点的运动规律与刚体
12、的定轴转动规律的比较（续）,1.刚体绕定轴转动运动学描述,(1) 角坐标,(2) 角速度,(3) 角加速度,本章小结,(4) 线量和角量的关系,(5) 匀变速定轴转动,2. 刚体绕定轴转动的转动惯量-刚体转动惯性的量度,(1) 转动惯量,或,(2) 平行轴定理,3. 刚体绕定轴转动的转动定律,4. 刚体绕定轴转动的功和能,(1) 刚体转动动能,(2) 力矩的功,(3) 刚体绕定轴转动的动能定理,(4) 刚体的重力势能,(5) 机械能守恒定律,当 时，,常量,5. 刚体绕定轴转动的角动量,(1) 刚体的角动量,(2) 刚体的角动量定理,(3) 角动量守恒定律,当 时，,常量,(4) 刚体进动的角
13、速度公式,3r,m,m,r,O,解,C,求对过圆环中心且垂直于圆环平面的转轴O 的转动惯量,例,求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量,例,解,R,切为许多垂直于轴的圆环,z,m,r,R,z,m,r,求均匀球体绕直径的转动惯量,例,解,从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O相距为d ，且（d + r） R,d,O,O,R,r,挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量,例,解,求,使用补偿法,则填满后的总质量为m + m ,设小圆盘的质量为m,m,d,一半圆形均质细杆，其半径为R ，质量为 m ，AA/为过半圆形圆心和端点的轴。,细杆对轴AA/的转动惯量,例,解,求,R,A,A/,r,dl,m,另解：,求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量,例,x,dx,解,求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量,例,解二,设,k是一个无量纲的量,C,z,立方体绕棱边的转动惯量为,分成八个相同的小立方体,他们绕各自棱边的转动惯量为,八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC,即,
