《【步步高，文档专练】（人教a版，文科）2015届高三数学第一轮大练习复习学案：第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高，文档专练】（人教a版，文科）2015届高三数学第一轮大练习复习学案：第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1、2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.x2 1y2 1(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)
2、，|.ABABx2x12y2y123平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.abx1y2x2y10.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)在ABC 中，向量，的夹角为ABC.( )ABBC(3)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.( )(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示( )(5)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成.( )x1x2y1y2(6)已知向量 a(1sin ，1)，b( ，1si
3、n )，若 ab，则 等于 45. ( )122已知点 A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为( )ABA(，)或(，)12135131213513B(，)5131213C(，)或(，)51312135131213D(，)5131213答案 C解析 因为点 A(6,2)，B(1,14)，所以(5,12)，|13，ABAB与共线的单位向量为(5,12)ABAB|AB|113(，)51312133已知 A(3,0)，B(0,2)，O 为坐标原点，点 C 在AOB 内，|OC|2，且AOC ，设24 (R)，则 的值为( )OCOAOBA1 B. C. D.131223答案 D解析 过
4、C 作 CEx 轴于点 E(图略)由AOC ，知|OE|CE|2，4所以，OCOEOBOAOB即，OEOA所以(2,0)(3,0)，故 .234在ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为ABACBD_答案 (3，5)解析 ，(1，1)，ABBCACBCACAB(3，5)BDADABBCAB5在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A、B、C 三点满足，则OC23OA13OB_.|AC|AB|答案 13解析 ，OC23OA13OB ()，OCOA13OA13OB13OBOA， .AC13AB|AC|AB|13题型一 平面向量基本定理的应用例 1 在ABC 中，点 P
5、是 AB 上一点，且，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的CP23CA13CB交点为 M，又t，试求 t 的值 CMCP思维启迪 根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过tABACCMCPCM建立关于 t 的方程组，从而求出 t 的值 CP解 ，CP23CA13CB32，CPCACB即 22，CPCACBCP2，APPB即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A)，如图所示A，M，Q 三点共线，设x(1x)(x1)，CMCQCAx2CBAC而，( 1).CBABACCMx2ABx2AC又，CPAPAC13ABAC由已知t可得，CMCP( 1)t()，x2ABx2AC13ABAC
6、Error!，解得 t .34思维升华 平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解 如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若m，则AN13NCAPAB211AC实数 m 的值为_ 答案 311解析 设|y，|x，BPPN则，APANNP14ACxxyBN，APABBPAByxyBNyx 得，APxxyABy4xyAC令，得 y x，代入得 m.y4xy21183311题型二 平面向量的坐标运算例 2 已知 A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求23；AD
7、BDBC(2)设3，2，求及 M、N 点的坐标CMCACNBCMN思维启迪 (1)直接计算、的坐标，然后运算；ADBDBC(2)根据向量的坐标相等列方程求点 M，N 的坐标解 (1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(21,32)(3,5)，AD(22,31)(4,2)，BD(32,21)(1,1)，BC23(3,5)2(4,2)3(1,1)ADBDBC(383,543)(14,6)(2)3，2，CMCACNBC2323，MNCNCMBCCABCAC由 A、B、C、D 点坐标可得(3,2)(1，2)(2,4)AC2(1,1)3(2,4)(4,10)MN设 M(xM，yM)
8、，N(xN，yN)又3，3()，CMCAOMOCOAOC(xM，yM)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12)xM3，yM10，M(3，10)又2，即2，CNBCONOCBC(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0)思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且ABBCCA3c，2b， CMCN(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M、N 的坐标及向量的坐标MN
9、解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，Error!解得Error!(3)设 O 为坐标原点，3c，CMOMOC3c(3,24)(3，4)(0,20)OMOCM(0,20)又2b，CNONOC2b(12,6)(3，4)(9,2)，ONOCN(9,2)(9，18)MN题型三 向量共线的坐标表示例 3 (1)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_ (2)已知向量 a(3,1)，b
10、(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则 k_.思维启迪 (1)根据向量共线列式求相关点的坐标；(2)根据向量共线求参数答案 (1)(2,4) (2)5解析 (1)在梯形 ABCD 中，DC2AB，2.DCAB设点 D 的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，DC(2,1)(1,2)(1，1)，AB(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，Error!，解得Error!，故点 D 的坐标为(2,4)(2)依题意得 ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.3k163思维升华 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若 a(x1，y1)，b
11、(x2，y2)，则ab 的充要条件是 x1y2x2y10；若 ab(a0)，则 ba. (2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解 (1)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(ab)c，则 等于( )A. B. C1 D21412(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点 A、B、C 能构成OAOBOC三角形，则实数 m 满足的条件是_ 答案 (1)B (2)m12解析 (1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且 c(3,4)，4(
12、1)60，解得 .12(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，OAOBOC所以(3,1)，(m1，m)ABBC由于点 A、B、C 能构成三角形，所以与不共线，ABBC而当与共线时，有，解得 m ，ABBC3m11m12故当点 A、B、C 能构成三角形时实数 m 满足的条件是 m .12忽视平行四边形的多样性致误典例：(12 分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标易错分析 此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形规范解答解 如图
13、所示，设 A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y)2 分 若四边形 ABCD1为平行四边形，则，而(x1，y)，AD1BCAD1(2，5)BC由，得Error!AD1BCError!D1(3，5)5 分若四边形 ACD2B 为平行四边形，则2.ABCD而(4,0)，(x1，y5)ABCD2Error!Error!D2(5，5)8 分若四边形 ACBD3为平行四边形，则.AD3CB而(x1，y)，(2,5)，AD3CBError!Error!D3(1,5)11 分综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5)12 分温馨提醒 (1)本题考查向量坐标的基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口(2)向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解.方法与技巧1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标
