《【步步高】2016届高三数学北师大版（通用，理）总复习学案：学案6 函数的奇偶性与周期性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2016届高三数学北师大版（通用，理）总复习学案：学案6 函数的奇偶性与周期性（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 9 页 学案学案 6 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会 做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题 自主梳理 1函数奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有_，则称 f(x)为奇函数；如 果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有_，则称 f(x)为偶函数 2奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)_； f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|)f(x)f(x)_. (2)f(x)是偶函数f(x)的图象关于_轴对称；f(x)是
2、奇函数f(x)的图象关于_ _ 对称 (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有 _的单调性 3函数的周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(xT) _，则称 f(x)为_函数，其中 T 称作 f(x)的周期若 T 存在一个最小的正数， 则称它为 f(x)的_ (2)性质： f(xT)f(x)常常写作 f(x )f(x ) T 2 T 2 如果 T 是函数 yf(x)的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是 yf(x)的周期，即 f(xkT) f(x) 若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(xa
3、)f(x)或 f(xa) 或 f(xa)(a 是常数且 a0)，则 f(x)是以_为一个周期的周期函数 1 fx 1 fx 自我检测 1已知函数 f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则 m 的值是 ( ) A1B2C3D4 2(2011茂名月考)如果奇函数 f(x)在区间3,7上是增函数且最大值为 5，那么 f(x)在区 间7，3上是 ( ) A增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5 C减函数且最大值是5 D减函数且最小值是5 3函数 yx 的图象 ( ) 1 x A关于原点对称 B关于直线 yx 对称 C关于 y 轴对称 D关于直线 yx 对称 4(2009江西改编)已
4、知函数 f(x)是(，)上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)f(x)，且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，则 f(2 012)f(2 011)的值为 ( ) A2B1C1D2 第 2 页 共 9 页 5(2011开封模拟)设函数 f(x)为奇函数，则 a_. x1xa x 探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)(x1) ；(2)f(x)x( )； 1x 1x 1 2x1 1 2 (3)f(x)log2(x)；(4)f(x)Error! x21 变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)x2x3； (2)f(x)； x211x2 (3)f
5、(x). 4x2 |x3|3 探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用 例 2 函数 yf(x)(x0)是奇函数，且当 x(0，)时是增函数，若 f(1)0，求不 等式 fx(x )0)，在区间8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_. 变式迁移 3 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，且 f(x)f(2x)若 f(x)在区间1,2上 是减函数，则 f(x)( ) A在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是增函数 B在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数 C在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是增函数 D在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是减函数
6、转化与化归思想的应用 例 (12 分)函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2) f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范 第 3 页 共 9 页 围 【答题模板】 解 (1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.2 分 (2)令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)， f(1) f(1)0.4 分 1 2 令 x
7、11，x2x 有 f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)，f(x)为偶函数6 分 (3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2， f(164)f(16)f(4)3，7 分 f(3x1)f(2x6)3， 即 f(3x1)(2x6)f(64)8 分 f(x)为偶函数， f(|(3x1)(2x6|)f(64)10 分 又f(x)在(0，)上是增函数，f(x)的定义域为 D. 00，从而得出 0f(2)Bf(1)1，f(2)，则 m 的取值范围是_ 2m3 m1 8已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，g(x)是 R 上的奇函数，且 g(x)f(x1)，若 f(2) 2，则 f(2 010)的值
8、为_ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2011汕头模拟)已知 f(x)是定义在6,6上的奇函数，且 f(x)在0,3上是 x 的 一次式，在3,6上是 x 的二次式，且当 3x6 时，f(x)f(5)3，f(6)2，求 f(x)的表达 式 10(12 分)设函数 f(x)x22|x|1(3x3) (1)证明 f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数 f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域 第 5 页 共 9 页 11(14 分)(2011舟山调研)已知函数 f(x)x2 (x0，常数 aR) a x (1)
9、讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数 f(x)在2，)上为增函数，求实数 a 的取值范围 答案答案 自主梳理 1f(x)f(x) f(x)f(x) 2(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)2a 自我检测 1B 因为 f(x)为偶函数，所以奇次项系数为 0，即 m20，m2. 2A 奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性 3A 由 f(x)f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称 4C f(2 012)f(2 011)f(2 012)f(2 011)f(0)f(1)log21log2(11)1. 51 解析 f(1)0
10、，f(1)2(a1)0， a1.代入检验 f(x)是奇函数，故 a1. x x1 2 课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：用函数奇偶性的定义判断(先看定义域是否关于原点对称) (2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则 f(x)为奇函数；f(x)的图象关于 y 轴对称，则 f(x)为 偶函数 (3)基本函数法：把 f(x)变形为 g(x)与 h(x)的和、差、积、商的形式，通过 g(x)与 h(x)的奇偶 性判定出 f(x)的奇偶性 解 (1)定义域要求0 且 x1， x x 1 1 10，则 f(x)(x)2x(x2x)f(x)； 当 x0 时，x0)在区间8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，不 妨设 x1f(2)，即 f(1)f(2) 61 解析 f(x)是奇函数，且 xR，f(0)0，即 a0.又 f(1)f(1)，b1(11) 0，即 b1，因此 ab1. 711， f(1)f(1)4，即 a4，x1x2(x1x2)16， a 的取值范围为(，16(14 分)
