《【步步高】2016届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案6 函数的奇偶性与周期性》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【步步高】2016届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案6 函数的奇偶性与周期性(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 9 页 学案学案 6 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会 做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题 自主梳理 1函数奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有_,则称 f(x)为奇函数;如 果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有_,则称 f(x)为偶函数 2奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)_; f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|)f(x)f(x)_. (2)f(x)是偶函数f(x)的图象关于_轴对称;f(x)是
2、奇函数f(x)的图象关于_ _ 对称 (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有 _的单调性 3函数的周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(xT) _,则称 f(x)为_函数,其中 T 称作 f(x)的周期若 T 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x)的_ (2)性质: f(xT)f(x)常常写作 f(x )f(x ) T 2 T 2 如果 T 是函数 yf(x)的周期,则 kT(kZ 且 k0)也是 yf(x)的周期,即 f(xkT) f(x) 若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(xa
3、)f(x)或 f(xa) 或 f(xa)(a 是常数且 a0),则 f(x)是以_为一个周期的周期函数 1 fx 1 fx 自我检测 1已知函数 f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数,则 m 的值是 ( ) A1B2C3D4 2(2011茂名月考)如果奇函数 f(x)在区间3,7上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区 间7,3上是 ( ) A增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5 C减函数且最大值是5 D减函数且最小值是5 3函数 yx 的图象 ( ) 1 x A关于原点对称 B关于直线 yx 对称 C关于 y 轴对称 D关于直线 yx 对称 4(2009江西改编)已
4、知函数 f(x)是(,)上的偶函数,若对于 x0,都有 f(x2)f(x),且当 x0,2)时,f(x)log2(x1),则 f(2 012)f(2 011)的值为 ( ) A2B1C1D2 第 2 页 共 9 页 5(2011开封模拟)设函数 f(x)为奇函数,则 a_. x1xa x 探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)(x1) ;(2)f(x)x( ); 1x 1x 1 2x1 1 2 (3)f(x)log2(x);(4)f(x)Error! x21 变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)x2x3; (2)f(x); x211x2 (3)f
5、(x). 4x2 |x3|3 探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用 例 2 函数 yf(x)(x0)是奇函数,且当 x(0,)时是增函数,若 f(1)0,求不 等式 fx(x )0),在区间8,8上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1x2x3x4_. 变式迁移 3 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)f(2x)若 f(x)在区间1,2上 是减函数,则 f(x)( ) A在区间2,1上是增函数,在区间3,4上是增函数 B在区间2,1上是增函数,在区间3,4上是减函数 C在区间2,1上是减函数,在区间3,4上是增函数 D在区间2,1上是减函数,在区间3,4上是减函数
6、转化与化归思想的应用 例 (12 分)函数 f(x)的定义域为 Dx|x0,且满足对于任意 x1,x2D,有 f(x1x2) f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)1,f(3x1)f(2x6)3,且 f(x)在(0,)上是增函数,求 x 的取值范 第 3 页 共 9 页 围 【答题模板】 解 (1)对于任意 x1,x2D,有 f(x1x2)f(x1)f(x2), 令 x1x21,得 f(1)2f(1),f(1)0.2 分 (2)令 x1x21,有 f(1)f(1)f(1), f(1) f(1)0.4 分 1 2 令 x
7、11,x2x 有 f(x)f(1)f(x), f(x)f(x),f(x)为偶函数6 分 (3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2, f(164)f(16)f(4)3,7 分 f(3x1)f(2x6)3, 即 f(3x1)(2x6)f(64)8 分 f(x)为偶函数, f(|(3x1)(2x6|)f(64)10 分 又f(x)在(0,)上是增函数,f(x)的定义域为 D. 00,从而得出 0f(2)Bf(1)1,f(2),则 m 的取值范围是_ 2m3 m1 8已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)f(x1),若 f(2) 2,则 f(2 010)的值
8、为_ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2011汕头模拟)已知 f(x)是定义在6,6上的奇函数,且 f(x)在0,3上是 x 的 一次式,在3,6上是 x 的二次式,且当 3x6 时,f(x)f(5)3,f(6)2,求 f(x)的表达 式 10(12 分)设函数 f(x)x22|x|1(3x3) (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域 第 5 页 共 9 页 11(14 分)(2011舟山调研)已知函数 f(x)x2 (x0,常数 aR) a x (1)
9、讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在2,)上为增函数,求实数 a 的取值范围 答案答案 自主梳理 1f(x)f(x) f(x)f(x) 2(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)2a 自我检测 1B 因为 f(x)为偶函数,所以奇次项系数为 0,即 m20,m2. 2A 奇函数的图象关于原点对称,对称区间上有相同的单调性 3A 由 f(x)f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称 4C f(2 012)f(2 011)f(2 012)f(2 011)f(0)f(1)log21log2(11)1. 51 解析 f(1)0
10、,f(1)2(a1)0, a1.代入检验 f(x)是奇函数,故 a1. x x1 2 课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:用函数奇偶性的定义判断(先看定义域是否关于原点对称) (2)图象法:f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)为奇函数;f(x)的图象关于 y 轴对称,则 f(x)为 偶函数 (3)基本函数法:把 f(x)变形为 g(x)与 h(x)的和、差、积、商的形式,通过 g(x)与 h(x)的奇偶 性判定出 f(x)的奇偶性 解 (1)定义域要求0 且 x1, x x 1 1 10,则 f(x)(x)2x(x2x)f(x); 当 x0 时,x0)在区间8,8上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不 妨设 x1f(2),即 f(1)f(2) 61 解析 f(x)是奇函数,且 xR,f(0)0,即 a0.又 f(1)f(1),b1(11) 0,即 b1,因此 ab1. 711, f(1)f(1)4,即 a4,x1x2(x1x2)16, a 的取值范围为(,16(14 分)