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1、12.4 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布1.离散型随机变量的概率分布(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，其称为随机变量的概率分布列，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为随机变量 X 的概率分布表，具有性质：pi_0，i1,2，n；p1p2pipn_1_.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.2.如果随机变量 X
2、的概率分布为X10Ppq其中 0p1，q1p，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布.3.超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件Xr发生的概率：P(Xr)(r0,1,2，l)，其中 lminn，M，且C r MC nrNMCn NnN，MN，n、M、NN*，则称 X 服从超几何分布，记为 XH(n，M，N)，并将P(Xr)，记为 H(r；n，M，N).C r MC nrNMCn N1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.( )(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变
3、量所刻画的随机现象.( )(3)某人射击时命中的概率为 0.5，此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布.( )(4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布.( )2.袋中有 3 个白球，5 个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是_.(填序号)至少取到 1 个白球；至多取到 1 个白球；取到白球的个数；取到的球的个数.答案 解析 表述的都是随机事件，是确定的值 2，并不随机；是随机变量，可能取值为 0,1,2.3.随机变量 X 的概率分布如下：X101Pabc其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|1)_.答案 23解析 a，b，c 成等差
4、数列，2bac.又 abc1，b ，P(|X|1)ac .13234.设某运动员投篮投中的概率为 0.3，则一次投篮时投中次数 X 的概率分布是_.答案 X01P0.70.35.已知随机变量 X 的分布列为 P(Xk)，k1,2，则 P(2X4)_.12k答案 316解析 P(2X4)P(X3)P(X4)123124316题型一 离散型随机变量的概率分布的性质例 1 设 X 是一个离散型随机变量，其概率分布为X101P1212qq2则 q_.思维启迪 利用概率分布的两个性质求解.答案 122解析 由概率分布的性质知Error!Error!q1.22思维升华 (1)利用概率分布中各概率之和为 1
5、 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据概率分布，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.设离散型随机变量 X 的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1 的概率分布；(2)|X1|的概率分布.解 由概率分布的性质知：0.20.10.10.3m1，m0.3.首先列表为X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个概率分布为(1)2X1 的概率分布为2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的概率分布为|X1|0123P0.10.30
6、.30.3题型二 求离散型随机变量的概率分布例 2 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的概率分布.思维启迪 解决随机变量概率分布问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题.解 (1)P(当天商店不进货)P(当天商
7、品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 1 件)120.520310(2)由题意知，X 的可能取值为 2,3.P(X2)P(当天商品销售量为 1 件) ；52014P(X3)P(当天商品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 2 件)P(当天商品销售量为 3件) .12092052034所以 X 的概率分布为X23P1434思维升华 求解离散型随机变量 X 的概率分布的步骤：理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值；求 X 取每个值的概率；写出 X 的概率分布.求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.4 支圆珠笔标价分别为
8、 10 元、20 元、30 元、40 元.(1)从中任取一支，求其标价 X 的概率分布；(2)从中任取两支，若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求 Y 的概率分布.解 (1)X 的可能取值分别为 10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故 X 的概率分布为X10203040P14141414(2)根据题意，Y 的可能取值为 20,30,40，且 P(Y20) ，1C2 416P(Y30) ，P(Y40) .2C2 4133C2 412Y 的概率分布为Y203040P161312题型三 超几何分布例 3 一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到
9、1 个白球的概率是 .79(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X，求随机变量 X 的概率分布.思维启迪 (1)列出符合题意的关于袋中白球个数 x 的方程；(2)随机变量 X 服从超几何分布.解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球”为事件 A，设袋中白球的个数为 x，则 P(A)1 ，C210xC 2 1079得到 x5.故白球有 5 个.(2)X 服从超几何分布，P(Xr)，r0,1,2,3.Cr 5C3r5C 3 10于是可得其概率分布为X0123P112512512112思维升华 对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用
10、公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得1 分.现从盒内任取3 个球.(1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；(3)设 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 的概率分布.解 (1)P1.C3 7C3 9712(2)记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B， “取出 2 个红色球，1 个黑色球”为事件
11、 C，则 P(BC)P(B)P(C).C1 2C2 3C3 9C2 2C1 4C3 9542(3) 可能的取值为 0,1,2,3， 服从超几何分布，P(r)，r0,1,2,3.Cr 3C3r6C3 9故 P(0)，P(1)；C3 6C3 9521C1 3C2 6C3 91528P(2)，P(3).C2 3C1 6C3 9314C3 3C3 9184 的概率分布为0123P5211528314184分类讨论思想在概率中的应用典例：(14 分)在一个盒子中，放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y，记 |x2|yx|.(1)求随机变量 的
12、最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；(2)求随机变量 的概率分布.思维启迪 (1)根据 x，y 的取值，随机变量 的最大值为 3，当 3 时，只能x1，y3 或 x3，y1；(2)根据 x，y 的取值， 的所有取值为 0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可.规范解答解 (1)x，y 可能的取值为 1,2,3，|x2|1，|yx|2，3，且当 x1，y3 或 x3，y1 时，3.因此，随机变量 的最大值为 3.4 分有放回地抽两张卡片的所有情况有 339(种)，P(3) .29故随机变量 的最大值为 3，事件“ 取得最大值”的概率为 .6 分29(2) 的所有取值为 0,1,2,3.
13、0 时，只有 x2，y2 这一种情况，1 时，有 x1，y1 或 x2，y1 或 x2，y3 或 x3，y3 四种情况，2 时，有 x1，y2 或 x3，y2 两种情况，3 时，有 x1，y3 或 x3，y1 两种情况.10 分P(0) ，P(1) ，P(2) ，194929P(3) .12 分29则随机变量 的概率分布为0123P1949292914 分温馨提醒 (1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率.(2)随机变量 的值是 x，y 的函数，所以要对 x，y 的取值进行分类讨论.(3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.方法与技巧1.对于随机变量 X 的研究，需要了解
14、随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 取各个值的概率.失误与防范掌握离散型随机变量的概率分布，须注意：(1)概率分布的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件” ，下为“事件发生的概率” ，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.(2)要会根据概率分布的
15、两个性质来检验求得的概率分布的正误.A 组 专项基础训练(时间：35 分钟)一、填空题1.随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn)(n1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P( X )ann11252的值为_.答案 56解析 P(Xn)(n1,2,3,4)，ann1 1，a ，a2a6a12a2054P( X )P(X1)P(X2) .125254125416562.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为 ，则表示“放回 5 个红球”的事件时_.答案 6解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故 6.3.一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒子中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，其分布
