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1、第第 6 章章 数数 列列 学案学案 27 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 导学目标： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解 数列是自变量为正整数的一类特殊函数自主梳理 1数列的定义 按_着的一列数叫数列，数列中的_都叫这个数列的项；在函数意 义下，数列是_的函数，数列的一般形式为： _，简记为an，其中 an是数列的第_项 2通项公式： 如果数列an的_与_之间的关系可以_来表示，那么这个式 子叫做数列的通项公式但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的 3数列常用表示法有：_、_、_. 4数列的分类： 数列按项数来分，分为_、_；按项的增
2、减规律分为 _、_、_和_递增数列an1_an；递减 数列an1_an；常数列an1_an. 5an与 Sn的关系：已知 Sn，则 anError!Error!. 自我检测1(2010湖南长郡中学)在数列an中，若 a11，a2 ， (nN*)，122an11an1an2 则该数列的通项 an_. 2已知数列an对任意的 p，qN*满足 apqapaq，且 a26，那么 a10_.3已知数列1， ，按此规律，则这个数列的通项公式是85157249 _ 4下列对数列的理解： 数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集1,2,3，n)上的函数； 数列的项数是有限的； 数列若用图象表示，从图象上看
3、都是一群孤立的点； 数列的通项公式是唯一的 其中说法正确的序号是_ 5设 ann210n11，则数列an从首项到第_项的和最大探究点一 由数列前几项求数列通项 例 1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1) ， ， ， ， ，234156358631099(2) ，2，8， ，1292252变式迁移 1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33， (2)， ，2，(3)1,0,1,0，25211探究点二 由递推公式求数列的通项 例 2 根据下列条件，写出该数列的通项公式 (1)a12，an1ann；(2)a11,2n1anan1 (n2)变式迁移 2
4、根据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)a11，an13an2； (2)a11，an1(n1)an；(3)a12，an1anln.(11n)探究点三 由 an与 Sn的关系求 an 例 3 已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n1，求an的通项公式变式迁移 3 (1)已知an的前 n 项和 Sn3nb，求an的通项公式 (2)已知在正项数列an中，Sn表示前 n 项和且 2an1，求 an.Sn函数思想例 (14 分)已知数列an的通项 an(n1)n (nN*)，试问该数列an有没有最大(1011) 项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由 【答题模板】解 方法一 令Error!
5、Error!4 分Error!Error!Error!Error!，n9 或 n10 时，an最大，10 分 即数列an有最大项，此时 n9 或 n10.14 分方法二 an1an(n2)n1(n1)n(1011)(1011)n，2 分(1011)9n11 当 n0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1ana11a12， 数列an中有最大项，为第 9、10 项14 分 【突破思维障碍】 有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用作差法，作商法，图象法求最大项时也可用 an满足Error!Error!；若求最小
6、项，则用 an满足Error!Error!. 数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值 【易错点剖析】 本题解题过程中易出现只解出 a9这一项，而忽视了 a9a10，从而导致漏解1数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项 an与项数 n 的关系 2求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出 一个通项公式，关键是善于观察； (2)数列an的前 n 项和 Sn与数列an的通项公式 an的关系，要注意验证能否统一到一 个式子中； (3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘 3本节易错点是利用 Sn求 an时，忘记讨论 n1
7、 的情况(满分：90 分) 一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1(2010安徽改编)设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为_ 2(2009北京)已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则 a2 009_，a2 014_. 3已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2(an1)，则 a2_.4数列an中，若 an1，a11，则 a6_.an2an15数列an满足 anan1 (nN*)，a22，Sn是数列an的前 n 项和，则12 S21_.6数列an满足 an1Error!Error!若 a1 ，则 a2 010的值为_677已知 Sn是数列an
8、的前 n 项和，且有 Snn21，则数列an的通项 an_. 8将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据以上排列规律，数阵中第 n (n3)行从左至右的第 3 个数是_ 二、解答题(共 42 分) 9(12 分)写出下列各数列的一个通项公式(1)1 ，2 ，3 ，4 ，12233445(2)1， ， ， 321334153610(14 分)由下列数列an递推公式求数列an的通项公式： (1)a11，anan1n (n2)；(2)a11， (n2)；anan1n1n (3)a11，an2an11 (n2)11(16 分)(20
9、09安徽)已知数列an的前 n 项和 Sn2n22n，数列bn的前 n 项和 Tn2bn. (1)求数列an与bn的通项公式； (2)设 cna bn，证明：当且仅当 n3 时，cn1 0. anan120. 数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列 ana1(n1)22n1. 课后练习区 115 解析 a8S8S7644915. 21 0 解析 a2 009a450331，a2 014a1 007a252410. 34 解析 当 n1 时，a12. 当 n2 时，a1a22(a21)，a24.4.111解析 方法一 an1，a11，an2an1a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6.131
10、51719111方法二 an1，2，an2an11an11an12(n1)2n1，an，a6.1an12n11115.72解析 a1 a2 2，a22，a3 2，a42，知121212T2，a1a2 ，S2110 a15 2 .121212726.37解析 a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，67573767此数列是以 3 为周期的数列，故可知 a2 010a3 .377.Error!Error! 解析 当 n1 时，a1S1112， 当 n1 时，anSnSn1(n21)(n1)212n1.此时对于 n1 不成立，v故 anError!Error!8.n2n62解析 前 n1 行共有正整数 12
11、(n1)(个)，因此第 n 行第 3 个数是n2n2全体正整数中的第3 个，即为第个n2n2n2n629解 (1)a11 ，a22 ，a33 ，122334ann(nN*)(6nn1 分)(2)a1，a2，a3，a4，211212213214an(1)n(nN*)(1221nn 分) 10解 (1)由题意得，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12. 将上述各式等号两边累加得， ana1n(n1)32，即 ann(n1)321，nn12故 an.(6 分)nn12(2)由题意得， ， .anan1n1nan1an2n2n1a3a223a2a112将上述各式累乘得， ，故 an .
12、(10 分)ana11n1n (3)由 an2an11， 得 an12(an11)，又 a1120，所以2，an1an11 即数列an1是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列 所以 an12n，即 an2n1.(14 分) 11(1)解 a1S14.(1 分) 对于 n2，有 anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.a1也适合， an的通项公式 an4n.(3 分) 将 n1 代入 Tn2bn，得 b12b1，故 T1b11.(4 分) 对于 n2，由 Tn12bn1，Tn2bn，得 bnTnTn1(bnbn1)，bn bn1，bn21n.(612 分) b11 也适合 综上，bn的通项公式 bn21n.(10 分) (2)方法一 由 cna bnn225n，(112 n分)得2.当且仅当 n3 时，1 0，cn1cn122 即 cn1cn.(16 分) 方法二 由 cna bnn225n，2 n得 cn1cn24n(n1)22n2 24n(n1)22
