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1、第第 5 章章 解三角形与平面向量解三角形与平面向量 学案学案 22 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题自主梳理 1三角形的有关性质 (1)在ABC 中，ABC_； (2)ab_c，abbsin A_sin BA_B；(4)三角形面积公式：SABC ah absin C1212 acsin B_；12 (5)在三角形中有：sin 2Asin 2BAB 或_三角形为等腰或直角三 角形；sin(AB)sin C，sin cos .AB2C2 2正弦定理和余
2、弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2Ra2_， b2_， c2_变形 形式a_， b_， c_； sin A_， sin B_， sin C_； abc_；abcsin Asin Bsin Casin Acos A_； cos B_； cos C_解决 的问题已知两角和任一边，求另一角 和其他两条边 已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其他两角已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和 其他两个角.自我检测 1(2010上海改编)若ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C51113，则 abc_. 2(2010天津改编)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，
3、b，c，若 a2b2 bc，sin C2sin B，则 A_.333(2010烟台一模)在ABC 中，A60，b1，ABC 的面积为，则边 a 的值为3_ 4(2010山东)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若a，b2，sin Bcos B，则角 A 的大小为_225(2010北京)在ABC 中，若 b1，c，C，则 a_.323探究点一 正弦定理的应用 例 1 (1)在ABC 中，a，b，B45，求角 A、C 和边 c；32(2)在ABC 中，a8，B60，C75，求边 b 和 c.变式迁移 1 (1)在ABC 中，若 tan A ，C150，BC1，则 AB_；13
4、 (2)在ABC 中，若 a50，b25，A45，则 B_.6探究点二 余弦定理的应用 例 2 已知 a、b、c 分别是ABC 中角 A、B、C 的对边，且 a2c2b2ac. (1)求角 B 的大小； (2)若 c3a，求 tan A 的值变式迁移 2 在ABC 中，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边，B，b，ac4，求 a.2313探究点三 正余弦定理的综合应用 例 3 在ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果(a2b2) sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状变式迁移 3 (2010天津)在ABC 中，.ACABcos Bcos C
5、 (1)证明：BC；(2)若 cos A ，求 sin的值13(4B3)1解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用 2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中 大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍 3在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、 余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法 “化繁为简” “化异为同” 是解此类问题的突破口(满分：90 分) 一、填空题
6、(每小题 6 分，共 48 分) 1(2010湖北改编)在ABC 中，a15，b10，A60，则 cos B_.2在ABC 中，AB3，AC2，BC，则_.10ABAC3在ABC 中，sin2(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形状A2cb2c 为_ 4(2011苏州调研)在ABC 中，若 A60，BC4，AC4，则角 B 的大小为32_ 5(2010湖南改编)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 C120， ca，则 a，b 的大小关系为_26在ABC 中，B60，b2ac，则ABC 的形状为_ 7(2010广东)已知 a，b，c 分别是ABC
7、 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b，AC2B，则 sin C_.38(2010福建龙岩高三一模)在锐角ABC 中，ADBC，垂足为 D，且 BDDCAD236，则BAC 的大小为_ 二、解答题(共 42 分) 9(14 分)(2009浙江)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos，3.A22 55ABAC(1)求ABC 的面积； (2)若 bc6，求 a 的值10(14 分)(2010陕西)在ABC 中，已知 B45，D 是 BC 边上的一点， AD10，AC14，DC6，求 AB 的长11(14 分)(2010重庆)设ABC 的内角 A、B、C
8、的对边长分别为 a、b、c，且 3b23c23a24bc.2(1)求 sin A 的值；(2)求的值2sin(A4)sin(BC4)1cos 2A答案答案 自主梳理1(1) (2) (3) (4) bcsin A (5)AB 2. 122asin Absin Bcsin Cb2c22bccos A a2c22accos B a2b22abcos C 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C a2Rsin Asin Bsin C b2Rc2Rb2c2a22bca2c2b22aca2b2c22ab 自我检测151113 2.30 3. 4.136 51解析 方法一 由正弦定理，有，3sin2
9、31sin Bsin B .C 为钝角，B 必为锐角，B ，126A .ab1.6 方法二 由余弦定理 c2a2b22abcos C 得， 3a2a1，即 a2a20， 解得 a1，a2(舍去) 课堂活动区 例 1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角 和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体 判断方法如下：在ABC 中，已知 a、b 和 A，求 B.若 A 为锐角，当 ab 时，有一解； 当 absin A 时，有一解；当 bsin Ab 时，有一解；当 ab 时，无解解 (1)由正弦定理得，sin A.asin Absin
10、 B32ab，AB，A60或 A120. 当 A60时，C180456075，c；bsin Csin B6 22 当 A120时，C1804512015，c.bsin Csin B6 22综上，A60，C75，c，6 22或 A120，C15，c.6 22(2)B60，C75，A45.由正弦定理，asin Absin Bcsin C得 b4，c44.asin Bsin A6asin Csin A3b4，c44.63变式迁移 1 (1) (2)60或 120102解析 (1)在ABC 中，tan A ，C150，13A 为锐角，sin A.又BC1.110根据正弦定理得 AB.BCsin Csi
11、n A102(2)由 ba，得 BA，由，asin Absin B得 sin B，bsin Aa25 65022320a，BA，7cos A.tan A.1sin2A5 714sin Acos A35 方法三 c3a，由正弦定理，得 sin C3sin A.B ，C(AB)A，323sin(A)3sin A，23sincos Acossin A3sin A，2323cos A sin A3sin A，32125sin Acos A，tan A.3sin Acos A35 变式迁移 2 解 由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c22accos a2c2ac(ac)2ac.23 又ac4
12、，b，ac3，13联立Error!Error!，解得 a1，c3，或 a3，c1.a 等于 1 或 3. 例 3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关 系 解 方法一 (a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB) a2sin(AB)sin(AB) b2sin(AB)sin(AB)， 2a2cos Asin B2b2cos Bsin A， 由正弦定理，得 sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A， sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0， sin 2Asin 2B，由 0AC，AB，所以角 B 是锐角，由正弦
13、定理得，BCsin AACsin B即 sin B，所以 B45.ACsin ABC4 2 324 322 5ab 解析 因为 C120，ca，2所以 c2a2b22abcos C,2a2a2b22ab.(12)所以 a2b2ab，ab，因为 a0，b0，abab所以 ab0，所以 ab.abab 6等边三角形 解析 b2a2c22accos B，aca2c2ac， (ac)20，ac，又 B60， ABC 为等边三角形 71 解析 由 AC2B 及 ABC180知，B60.由正弦定理知，即 sin A .1sin A3sin 6012 由 ab 知，AB，A30， C180AB180306090， sin Csin 901.8.4 解析 设BAD，DAC，则 tan ，tan ，1312tanBACtan()1.tan tan 1tan tan 131211312BAC 的大小为 .49解 (1)因为 cos ，A22 55所以 cos A2cos21 ，sin A .
