《【新步步高】2016-2017学年高二数学北师大版必修5学案：1.1.1 数列的概念 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【新步步高】2016-2017学年高二数学北师大版必修5学案：1.1.1 数列的概念 word版含解析（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11 数列的概念数列的概念 明目标、知重点 1.通过实例，了解数列的概念.2.理解数列的顺序性，了解数列的几种分类.3.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项1数列的有关概念名 称内 容数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列项和项数数列中的每一个数叫作这个数列的项，各项依次叫作这个数列的第 1 项(首项)，第 2 项，第n 项，数列的记法数列一般可以写成 a1，a2，a3，an，简记为数列an，an是数列的第 n 项，也叫通项数列的分类按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列(1)项数有限的数列称为有穷数列；(2)项数无限的数列称为无穷数列2.数列的通项公式如果数列an的第 n
2、 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 anf(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式3数列的分类项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列情境导学战国时代哲学家庄周著的庄子天下篇引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭如果把木棒每天的长度记录下来，就会得到无穷多个数，这无穷多个数就组成了本节要研究的一个数列探究点一 数列的概念思考 1 阅读课本 34 页的例子，得出下面几列数，它们有何共同特点？(1)3,4,5,6,7,8,9.(2)78 345,82 067,89 442,95 933,102 398.(3)601.93,723.07,1 031.88,1
3、160.02,1 295.33.(4) ，.25292132(5)1， ， ， ，.131517(6)2 100,2 100,2 100，2 100.答 都是按一定的顺序排列的小结 (1)数列的定义：一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列(2)数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项(3)数列一般形式可以写成：a1，a2，a3，an，简记为数列an，其中数列的第一项 a1也称首项；an是数列的第 n 项，也叫数列的通项思考 2 an仅仅是数列的第 n 项吗？答 an有时是数列的第 n 项，具有确定性，有时代表任意项，即具有任意性思考 3 若根据数列项数的多少，你认为数列如何进行分类？答 按项
4、数的多少分：有穷数列，无穷数列例 1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4； (2)0,1,2,3,4；(3)所有无理数； (4)1，1,1，1,1，1，；(5)6,6,6,6,6.解 (1)是集合，不是数列(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列反思与感悟 解决此类问题的方法是根据数列的定义及所含项数的多少与项的变化情况确定跟踪训练 1 下列叙述正确的是( )A数列 1,3,5,7 和数列 3,1,5,7 是同一个数列B同一个数在数列中可能重复出现C数列
5、的通项公式是定义域为正整数集 N的函数D任何数列的通项公式都存在答案 B解析 根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，因此，A 是错误的；数列的通项公式的定义域是正整数集 N或它的有限子集1,2,3，n，因此 C 是错误的；而一个数列有时不存在通项公式，故 D 是错误的；对于一个数列，可以有重复的数，故 B 正确探究点二 数列的通项公式思考 1 观察数列 1， ， ， ， ，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？12131415这一关系能否用一个公式来表示？答 该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，用通项公式 an 来表示这个数1n
6、列思考 2 观察数列 1， ， ， ，.数列的每一项与这一项的序号存在怎样的关系？131517答 an.12n1思考 3 函数 y7x9 与 y3x，当依次取 1,2,3，时，其函数值构成的数列各有什么特点？答 对于第一个数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 7；对于第二个数列，从第 2项起，每一项是前一项的 3 倍小结 (1)如果数列an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子 anf(n)来表示，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式(2)并不是所有的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不唯一(3)通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是不是该数列中的项例 2 根
7、据下面的通项公式，分别写出数列的前 5 项(1)an；(2)an(1)ncos .nn2n4解 (1)在通项公式中依次取 n1,2,3,4,5，得到数列an的前 5 项为 ， ， ， ， ；1312352357(2)在通项公式中依次取 n1,2,3,4,5，得到数列an的前 5 项为，0，1，.222222反思与感悟 (1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项(2)判断某数是否为数列中的一项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出 n 的值，若求出的n 为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项跟踪训练 2 已知数列的通项公式为 an.4n23n(1
8、)写出数列的第 4 项和第 6 项；(2)试问和是不是它的项，如果是，是第几项？1101627解 (1)由题意易得：a4 ，4423 417a6.4623 6227(2)令，则 n23n400，4n23n110解得 n5 或 n8，由于 nN，故 n8 舍去所以是数列的第 5 项110令，则 4n212n270，4n23n1627解得 n 或 n ，3292由于 nN，所以不是此数列中的项1627例 3 写出下面数列的一个通项公式(1)3,5,7,9，(2)1,2,4,8(3)9,99,999,9 999，解 (1)观察知，这个数列的前 4 项都是序号的 2 倍加 1，所以它的一个通项公式为
9、an2n1；(2)这个数列的前 4 项可以写成 20,21,22,23，所以它的一个通项公式为 an2n1；(3)这个数列的前 4 项可以写成 101,1001,1 0001,10 0001，所以它的一个通项公式为an10n1.反思与感悟 用观察归纳法写出一个数列的通项公式，具体可参考以下几个思路：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(1)n处理符号(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等跟踪训练 3 写出下
10、面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：(1)，；11 212 313 414 5(2)，.2212321342145215解 (1)这个数列的前 4 项的分母都是序号数乘以比序号大 1 的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为 an.(1)nn (n1)(2)这个数列的前 4 项的分母都是比序号大 1 的数，分子都是比序号大 1 的数的平方减 1，所以，它的一个通项公式为 an.(n1)21n11将正整数的前 5 个数排成：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2，3,5,4,1；1,4,5,3,2.则可称为数列的有( )A BC D答案 D解析 根据数列的
11、定义和性质可知选 D.2数列 2,3,4,5，的一个通项公式为( )Aann Bann1Cann2 Dan2n答案 B解析 这个数列的前 4 项都比序号大 1，所以，它的一个通项公式为 ann1.3数列 ， ， ， ，的第 10 项是_23456789答案 2021解析 由题意知数列的通项公式是 an，2n2n1a10.2 102 10120214根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，3,5，7,9，；(2) ，2， ，8，；1292252(3)0,1,0,1，.解 (1)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，是连续的正奇数，考虑(1)n1具有转换符号的作用，所以数列的一
12、个通项公式为 an(1)n1(2n1)，nN.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：， ， ，所以，它的一个通项公式为 an，nN.124292162252n22(3)anError!Error!或 an (nN)或 an (nN)1(1)n21cos n2呈重点、现规律1用符号an表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：(1)集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的；(2)集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的2据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分
13、母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳3并非所有的数列都能写出它的通项公式如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式一、基础过关1已知数列an的通项公式为 an，则该数列的前 4 项依次为( )1(1)n12A1,0,1,0 B0,1,0,1C. ，0， ，0 D2,0,2,01212答案 A解析 当 n 分别等于 1,2,3,4 时，a11，a20，a31，a40.2已知数列an的通项公式为 ann2n50，则8 是该数列的( )A第 5 项 B第 6 项C第 7 项 D非任何一项答案 C解析 n2n508，
14、得 n7 或 n6(舍去)3在数列 1,3,6,10，x,21,28，中，由给出的数之间的关系可知 x 的值是( )A12 B15 C17 D18答案 B解析 观察发现相邻两项分别相差 2,3,4，？，？，7，依据规律两个？，？依次为 5,6，x10515.4数列n2n中的项不能是( )A380 B342 C321 D306答案 C解析 把各项代入数列中，得选 C.5观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，_，.35711答案 3解析 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为3.96已知数列an的通项公式为 an(nN)，那么是这个数列的第_项1n(n2)1120
15、答案 10解析 ，n(n2)1012，n10.1n(n2)11207根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3) ， ， ，；121458131629326164(4) ，1，.32710917解 (1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n(6n5)(2)将数列变形为 (10.1)， (10.01)， (10.001)，an.89898989(1110n)(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为，因此原数列可化为，23221321223222
