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1、10.3 静电场中的高斯定理,一、电场的直观描述,用一族空间曲线形象描述场强分布,Lines of field or lines of force,通常把这些曲线称为电场线或电力线。,1.规定 方向：力线上每一点的切线方向；大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强的量值。,1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。 之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。,2.电力线的性质,静电场电场线.av
2、i,二、电通量（电场强度通量，electric flux）,所谓电场线“数目”的确切定义。,1、对于匀强电场,如取垂直于电场方向的面积S,定义：通过该面的电通量,藉助电力线认识电通量,2、如取任意方向面积S,通过该面的电通量等于通过该面在垂直于电场方向上的投影面积 的电通量。,匀强电场,为了表达的简洁方便，引入“面矢量” （或“矢量面积”）的概念,定义：,为面积S 的法向单位矢量,则上述电通量的表达形式可改为：,电通量是标量；,单位：伏特米用符号Vm表示；,电通量的值有正、负之分。,当 与 的夹角 为锐角时：,当 为钝角时：,当 为直角时：,3、对于一般情形的电场（非匀强的），取任意的曲面S，
3、,把曲面分成许多个“面元矢量”（ ）,每一面元附近可视为匀强电场,所通过的电通量为：,对曲面S的所有面元上的电通量求和：,电通量的一般定义式,说明,1）、某处的场强的大小可理解为“电通量的密度”：,2）、若S为闭合曲面（又称为“高斯面”）,当电场线穿出高斯面：,当电场线穿入高斯面：,三、静电场的高斯定理（Gauss Theorem）,1.表述,穿出任一闭合曲面的电通量等于此闭合曲面所包围的所有电荷的电量代数和的0-1倍。,理论应用：库仑定律 + 叠加原理,2.证明,思路：先证明一个点电荷的场；然后推广至任意电荷分布的场。,如场源是一个点电荷q,在该电场中取一包围点电荷的闭合面,如闭合面为以该点
4、电荷为中心的球面,因球面上各处场强的方向均沿法向,（向外或向内，视q的正、负而定）,球面上各处场强的大小相等,如取包围该点电荷的任意闭合曲面S,在曲面S上任取一面元,考虑该面元的电通量：,考虑 （亦即 ）与它在球面上的投影截面dS间的关系。,如所取的闭合面S不包围电荷q,面元 的电通量：,面元 的电通量：,同理可得：,综上所述，对于一个点电荷q的场，任取一高斯面S，应有：,（当q在S内）,（当q在S外）,高斯定理.avi,闭合高斯面.avi,1.闭合面内、外电荷的贡献,只有闭合面内的电量对电通量有贡献；,2.静电场性质的基本方程,有源场；,3.源于库仑定律 高于库仑定律。,对高斯定理的理解应特
5、别注意以下几点：,1、高斯定理表达式中的场强E是曲面上各点的场强，它是由全部电荷（包括面内和面外的电荷）共同产生的合场强，並不是只由封闭曲面内的电荷；,2、通过任一封闭曲面的总电通量只决定于这闭合 曲面所包围的电荷，即只有这闭合曲面所包围的电荷 才对总电通量有贡献，外部电荷无贡献；,3、上面利用库仑定律和叠加原理导出了高斯定理， 在电场强度定义以后，也可以把高斯定理作为基本定律，结合空间的各向同性而导出库仑定律来见（10.2-1）式,（2）、高斯定理在电场强度分布已知时，能求出任意区域的电荷；,这说明：对静电场来说，库仑定律和高斯定理并不是相互独立的定律， 而是用不同的形式表示的电场与场源电荷
6、关系的同一规律，两者 具有“相逆”的意义。,（1）、库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布；,（3）、当电荷分布具有某种对称分布时，可用高斯定理求出 这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学上比用库仑定律 简便得多；,（4）、对于静止电荷的电场，可以说库仑定律与高斯定理是 等价的；但是，在研究运动电荷的电场或一般地随时间变化的 电场时，人们发现：库仑定律不再成立，而高斯定理却仍然有效。 所以说：高斯定理是关于电场的普遍的基本规律。,四. 高斯定理在求解电场方面的应用,在给定的电荷分布具有某种“高度对称性”的情况下，可以十分方便、快捷地利用高斯定理算出各处的电场分布。,这里所谓的“高度对
7、称性”具体指：,球对称性,均匀带电球面、,球体、,点电荷；,柱对称性,均匀带电的“无限长”圆柱面、,圆柱体、,细直线；,面对称性,均匀带电的“无限大”平面、,以下举例说明。,平板。,例10.3.1 均匀带电球面,总电量为,半径为,求：电场强度分布。,解:,根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面),取过场点P的、以球心 o 为心的球面, 先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量,b、所有与球心O距离为r 的点处的电场大小均相等。,场点P处的电场必沿着与球心O的连线方向（半径方向）；,再根据高斯定理解方程,过场点的高斯面内电量代数和?,如何理解面内场强为0 ?,过P点作圆锥 则在球面上截出两电荷元,在P点场强,方向如图,在P点场强,方向如图,例10.3.2 均匀带电的无限长的直线,线密度,对称性的分析,取合适的高斯面,计算电通量,利用高斯定理解出,l,对称性的分析,取合适的高斯面,计算电通量,利用高斯定理解出,例10.3.3 均匀带电的无限大平面，电荷面密度为，求：电场强度分布。,解:,两个底面过场点P和Q、侧面与带电平面垂直的闭合柱面。,带电平面两侧均为匀强场。,作 业,习题：P33-34；1010，1011，1015，1016。,Bye-Bye,
