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1、第三章第三章 概率概率一、随机事件的概率一、随机事件的概率1事件的分类：必然事件，不可能事件，随机事件必然事件，不可能事件，随机事件必然事件与不可能事件合称为确定事件2事件 A 出现的频率：相同条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例为事件 AAnA nnfn出现的频率3对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某( )nfA个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率4频率与概率的联系与区别（1）联系：实验次数增加时，频率无限接近
2、概率，一般可以用频率来估计估计概率；（2）区别：频率频率本身是随机随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率概率是一个客观存在客观存在的确定数与每次试验无关5极大似然法：如果我们面临着从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得事件出现的可能性最大”可以作为决策的准则，即哪一个答案能够使事件发生的可能性最大，这个答案即为正解答案6事件的关系与运算（1）包含关系：如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，称事件 B 包含事件 A，记作；任何事件都包含不可能事件BA（2）相等关系：如果事件 A 包含事件 B，且事件 B 包含事件 A，那么称事
3、件 A 和事件 B 相等，记作 A=B（3）把“事件 A 发生或事件 B 发生”看作一个事件 C，则事件 C 为事件 A 和事件 B 的并事件（或和事件） ，记作()或ABAB+（4）把“事件 A 发生且事件 B 发生”看作一个事件 D，则事件 D 为事件 A 和事件 B 的交事件（或积事件） ，记作()或ABAB（5）若两事件 A 和 B 不能同时发生，那么称事件 A 与事件 B 互斥（6）若是不可能事件，是必然事件，则称事件 A 与事件 B 为对立事件，即任ABAB何一次实验中发生的事件不是事件 A，就是事件 B，没有第三种可能7概率的几个基本性质（1）0P(A)1； （2）必然事件的概率
4、为 1，概率为 1 的事件不一定是必然事件；（3）不可能事件的概率为 0，概率为 0 的事件不一定是不可能事件； （4）如果两事件 A 与 B 互斥，则； ()( )( )P ABP AP B=+（5）若两事件 A 与 B 对立，则( )( )1P AP B+=例 1 若 A，B 为互斥事件，则（ ） A. B. ( )( ) 1P AP B( )( ) 1P AP BC. D. ( )( )1P AP B( )( ) 1P AP B答案答案 D例 2 抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件 B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件 C 为“落地时向上的点数是 3 的倍数”
5、，事件 D 为“落地时向上的点数是 6 或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )AA 与 BBB 与 CCA 与 DDC 与 D答案：答案：C解析：解析：A 与 B 互斥且对立；B 与 C 有可能同时发生，即出现 6，从而不互斥；A 与 D 不会同时发生，从而 A 与 D 互斥，又因为还可能出现 2，故 A 与 D 不对立；C 与 D 有可能同时发生，从而不互斥例 3 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%(1)确定 x，y 的值，并估计
6、顾客一次购物的结算时间的平均值(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)解解：(1)由已知得，25y1055，xy35，所以 x15，y20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：1.9(分钟)1 151.5 302 252.5 203 10100(2)记 A
7、为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1、A2、A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”、 “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”、 “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”将频率视为概率，得P(A1)，P(A2)，P(A3) 15100320301003102510014因为 AA1A2A3，且 A1，A2，A3是互斥事件，所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) 32031014710故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为710例 4 袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共 12 个从中任取一球，取到红球的概率是 ，取1
8、3到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是试求取到黑球、黄球、绿球的概512512率各是多少解解：从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件 A，B，C，D 显然是两两互斥的由题意，得Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!二、古典概型二、古典概型1古典概型：在试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个有限个且每个基本事件出现的可能可能性相等性相等，我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型2(1)互斥事件：若 AB 为不可能不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥，即事件 A
9、 与事件 B 在任何一次试验中不会同时同时发生(2)对立事件：若 AB 为不可能不可能事件，AB 为必然必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件，即事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有有且仅有一个发生3(1)概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A) +P(B)该结论可以推广到 n 个事件的情形：如果事件 A1，A2，An彼此互斥，则 P(A1A2An)P(A1) +P(A2) +P(An)(2)若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)P(B)1，也可以表示为 P(A)1P(B)4古典概型的概率公式：( )AP A 所包含的基本事件的个
10、数 基本事件的总数例 1 小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为 x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为 y；(1)在直角坐标系 xOy 中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线 xy7 上的概率；(2)规定：若 xy10，则小王赢；若 xy4，则小李赢，其他情况不分输赢试问这个游戏规则公平吗？请说明理由解解：(1)因 x，y 都可取 1,2,3,4,5,6，故以(x，y)为坐标的点共有 36 个记点(x，y)落在直线 xy7 上为事件 A，事件 A 包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,
11、1)6 个，所以事件 A 的概率 P(A) 63616(2)记 xy10 为事件 B，xy4 为事件 C，用数对(x，y)表示 x，y 的取值则事件 B 包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共 6 个数对；事件 C 包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共 6 个数对由(1)知基本事件总数为 36 个，所以 P(B) ，P(C) ，6361663616所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的例 2 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各
12、任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率；(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率解解：(1)甲校两名男教师分别用 A，B 表示，女教师用 C 表示；乙校男教师用 D 表示，两名女教师分别用 E，F 表示从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共 9 种从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共 4 种，所以选出的 2 名教师性别相同的
13、概率为 P4 9(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 6 种所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 P6 152 5例 3 一汽车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车 A轿车 B轿车 C舒适型10015
14、0z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆(1)求 z 的值；(2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这 8 辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率解解：(1)依据条件可知，轿车 A、B 的抽样，A 类轿车抽样比为10100300因
15、此本月共生产轿车502 000(辆)40010故 z2 000(100300150450600)400(辆)(2)设所抽取样本中有 a 辆舒适型轿车，由题意得 ，则 a24001 000a5因此抽取的容量为 5 的样本中，有 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车用 A1，A2表示 2 辆舒适型轿车，用 B1，B2，B3表示 3 辆标准型轿车，用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆，其中至少有 1 辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共 10 个事件 E 包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共 7 个故 P(E)，即所求概率为710710(3)样本平均数 (9.48.69.29.68.79.39.08.2)9x18设 D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”，则基本事件空间中有 8 个基本事件，事件 D 包含的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共 6 个，所以 P(D) ，即所求概率为 3434三、几何概型三、几何概型1几何
