《【四维备课】人教数学必修四2.4《平面向量的数量积》导学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【四维备课】人教数学必修四2.4《平面向量的数量积》导学案(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.42.4平面向量的数量积平面向量的数量积导学案导学案 来来# #源源: :中中%国国教育出教育出&版网版网 【学习目标学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.【导入新课导入新课】复习引入:1 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数 ,使ba=.ba2平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内1e2e的任一向量,有且只有一对实数 1,2使=1+2aa1e2e3平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的
2、两个单位向量 、作为基底.任作一个向量,由平面向xyija量基本定理知,有且只有一对实数、,使得xyyjxia把叫做向量的(直角)坐标,记作中国#教育*出版网&),(yxa),(yxa 4平面向量的坐标运算若,则,),(11yxa ),(22yxb ba ),(2121yyxxba ),(2121yyxx. 若,则),(yxa),(11yxA),(22yxB1212,yyxxAB5 ()的充要条件是 x1y2-x2y1=0来#源:中国教育出版*网abb06线段的定比分点及 P1, P2是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2的任一点,存在实数 ,使 =, 叫做点 P 分所成的比
3、,有三种情况:PP12PP21PP0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10)7. 定比分点坐标公式:若点 P(x1,y1) ,(x2,y2), 为实数,且,则点 P 的坐标为(PP12PP) ,我们称 为点 P 分所成的比.*中国教育出版网% 1,12121yyxx21PP8. 点 P 的位置与 的范围的关系:当 时,与同向共线,这时称点 P 为的内分点.PP12PP21PP当 ()时,与反向共线,这时称点 P 为的外分点.1PP12PP21PP9.线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点 O,设,1OP2OP可得=.zzs#%te&*OPbaba 111 110力做
4、的功:W = |F|s|cos,是 F 与 s 的夹角.新授课阶段新授课阶段1两个非零向量夹角的概念来源%:&中教网已知非零向量与,作,则()叫与的夹OAOB角.#z%zstep*.com说明:(1)当 时,与同向;(2)当 时,与反向;(3)当 时,与垂直,记;w*#2(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 01802平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角是,则数量|a|b|cos叫与的数量积,记作 a b,即有 a b = |a|b|cos,C ().并规定 0 与任何向量的数量积为 0.探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的
5、数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积,写成 ab;今后要学到两个向量的外积 ab,而 ab 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替.(3)在实数中,若 a0,且 ab=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a0,且 ab=0,不能推出b=0.因为其中 cos有可能为 0.(4)已知实数 a、b、c(b0),则 ab=bc a=c.但是 ab = bc a = c www.z&zstep.c%#om如右图:ab = |a|b|cos = |b|OA|,bc = |b|c|cos = |b
6、|OA| ab = bc 但 a c显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线.3 “投影”的概念:作图www.z#zste&*定义:|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为 0;当 = 0时投影为 |b|;当 = 180时投影为 |b|.4向量的数量积的几何意义:来&源:%中国教*育#出版网数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积.5两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量
7、.1 ea = ae =|a|cos2 ab ab = 03 当 a 与 b 同向时,ab = |a|b|;当 a 与 b 反向时,ab = |a|b|. 特别的 aa = |a|2或中国教#育出&版%网aaa |4 cos =|baba5 |ab| |a|b|zz#*step.co&m例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 =120o,求 ab.例 2 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o求(a+2b)(a-3b).例 3 已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正
8、误,并简要说明理由.00;0;0;若0,ABBA则对任一非零有;,则与中至少有一个为 0;对任意向量, 都有()() ;与是两个单位向量,则.来&源*:#中教网解:中国#教*%育出版网来#源:中国教&育出版%网评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.来#%源:中教网例 5 已知,当,与的夹角是 60时,分别求.解:来源:zzstep&.com#%评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是0,180 ,因此,当时,有 0或 180两种可能.中&国教#育*出版网课堂小结课堂小结(略)zzstep.c%om作业作业(略)拓展提升拓展提升1.已知向量,是不平行于轴的单
9、位向量,且,则 ( )( 3,1)a b x3a b b A () B () C () D ()3 1,2213,221 3 3,441,02. 设两点的坐标分别为.条件甲:;条件乙:点的坐标是方BA,)0 , 1 (),0 , 1(0AC BC C程的解.则甲是乙的 ( )122 yxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.已知与的夹角为,则以为邻边的平行| 2 2,| 3,pqp q452 ,3apq bpq 四边形的较短的对角线长为 ( )A. B. C. D.151514164.把点按向量平移到点,此时点在的延长线上,且,(2,2)A( 2,2)
10、BBOC| 2|OBBC 则点的坐标为 . C5.把函数的图象按向量平移,得到的图象,且,,5422xxya22xy ab) 1, 1 ( c,则 . 4cbb6.不共线向量,的夹角为小于的角,且,已知向量,求ab120| 1,| 2ab2cab|c的取值范围.7. 已知向量满足,且,其中., a b | | 1ab|3 |akbkab0k (1)试用表示,并求出的最大值及此时与的夹角的值;ka b a b ab(2)当取得最大值时,求实数,使的值最小,并对这一结果作出几何a b |ab解释.8. 已知向量.33(cos,sin),(cos, sin),22226 4xxxxabx (1)求及
11、;www.z%zst&a b |ab(2)求函数且的最小值.&中%国教育出版网()( )(|a bf xRab 0)参考答案参考答案例 1 (略)例 2 (略)例 3 (略)来源:中教*网例 4 来源:*中国教育出#&版网解:上述 8 个命题中只有正确;对于:两个向量的数量积是一个实数,应有 0;对于:应有0;对于:由数量积定义有cos,这里 是与的夹角,只有 或 时,才有;对于:若非零向量、垂直,有;对于:由可知可以都非零;对于:若与 共线,记.则()()() ,()()()()若与 不共线,则()().评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例 5 解:当时,若
12、与同向,则它们的夹角 ,cos036118;若与反向,则它们的夹角 180,cos18036(-1)18;当时,它们的夹角 90,;当与的夹角是 60时,有cos6036921评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是0,180 ,因此,当时,有 0或 180两种可能.拓展提升拓展提升1 提示:设,则有且.( , )(0)bx yy 33xy221(0)xyy2 提示:设点的坐标为. ,C( , )x y0AC BC 2(1)(1)0xxy,甲是乙的充要条件.0AC BC 122 yx3 提示:经验证,知以为对角线时,其长度较短,.ab6abpq 4 提示:点的坐标为,设点的坐标为,则,可求得点(0,2)B(0,4)C( , )x y2OBBC 的坐标为C.(0,2)5 提示:由函数 的图象按向量平移,得到的图象,可得) 1, 3( 5422xxya22xy ;( 1, 3)a 设,由和得:,解之得.( , )bm nab4cb30 4mn mn 3,1mn 6 解:(其中为与的夹角).2222|2 |44