《【四维备课】人教数学必修四2.4《平面向量的数量积》导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【四维备课】人教数学必修四2.4《平面向量的数量积》导学案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.42.4平面向量的数量积平面向量的数量积导学案导学案 来来# #源源: :中中%国国教育出教育出&版网版网 【学习目标学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.【导入新课导入新课】复习引入：1 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使ba=.ba2平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内1e2e的任一向量，有且只有一对实数 1，2使=1+2aa1e2e3平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的
2、两个单位向量 、作为基底.任作一个向量，由平面向xyija量基本定理知，有且只有一对实数、，使得xyyjxia把叫做向量的（直角）坐标，记作中国#教育*出版网&),(yxa),(yxa 4平面向量的坐标运算若，则，),(11yxa ),(22yxb ba ),(2121yyxxba ),(2121yyxx. 若，则),(yxa),(11yxA),(22yxB1212,yyxxAB5 ()的充要条件是 x1y2-x2y1=0来#源:中国教育出版*网abb06线段的定比分点及 P1， P2是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 P1， P2的任一点，存在实数 ，使 =， 叫做点 P 分所成的比
3、，有三种情况：PP12PP21PP0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10)7. 定比分点坐标公式：若点 P(x1，y1) ，(x2，y2)， 为实数，且，则点 P 的坐标为（PP12PP） ，我们称 为点 P 分所成的比.*中国教育出版网% 1,12121yyxx21PP8. 点 P 的位置与 的范围的关系：当 时，与同向共线，这时称点 P 为的内分点.PP12PP21PP当 ()时，与反向共线，这时称点 P 为的外分点.1PP12PP21PP9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点 O，设，1OP2OP可得=.zzs#%te&*OPbaba 111 110力做
4、的功：W = |F|s|cos，是 F 与 s 的夹角.新授课阶段新授课阶段1两个非零向量夹角的概念来源%:&中教网已知非零向量与，作，则（）叫与的夹OAOB角.#z%zstep*.com说明：（1）当 时，与同向；（2）当 时，与反向；（3）当 时，与垂直，记；w*#2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 01802平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作 a b，即有 a b = |a|b|cos，C （）.并规定 0 与任何向量的数量积为 0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的
5、数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 ab，而 ab 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能推出b=0.因为其中 cos有可能为 0.（4）已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bc a=c.但是 ab = bc a = c www.z&zstep.c%#om如右图：ab = |a|b|cos = |b|OA|，bc = |b|c|cos = |b
6、|OA| ab = bc 但 a c显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线.3 “投影”的概念：作图www.z#zste&*定义：|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.4向量的数量积的几何意义：来&源:%中国教*育#出版网数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积.5两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量
7、.1 ea = ae =|a|cos2 ab ab = 03 当 a 与 b 同向时，ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时，ab = |a|b|. 特别的 aa = |a|2或中国教#育出&版%网aaa |4 cos =|baba5 |ab| |a|b|zz#*step.co&m例 1 已知|a|=5， |b|=4， a 与 b 的夹角 =120o，求 ab.例 2 已知|a|=6， |b|=4， a 与 b 的夹角为 60o求(a+2b)(a-3b).例 3 已知|a|=3， |b|=4， 且 a 与 b 不共线，k 为何值时，向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正
8、误，并简要说明理由.00；0；0；若0，ABBA则对任一非零有；，则与中至少有一个为 0；对任意向量， 都有（）（） ；与是两个单位向量，则.来&源*:#中教网解：中国#教*%育出版网来#源:中国教&育出版%网评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.来#%源:中教网例 5 已知，当，与的夹角是 60时，分别求.解：来源:zzstep&.com#%评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180 ，因此，当时，有 0或 180两种可能.中&国教#育*出版网课堂小结课堂小结（略）zzstep.c%&#om作业作业（略）拓展提升拓展提升1.已知向量，是不平行于轴的单
9、位向量，且，则 （ ）( 3,1)a b x3a b b A （） B （） C （） D （）3 1,2213,221 3 3,441,02. 设两点的坐标分别为.条件甲：；条件乙：点的坐标是方BA,)0 , 1 (),0 , 1(0AC BC C程的解.则甲是乙的 （ ）122 yxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.已知与的夹角为，则以为邻边的平行| 2 2,| 3,pqp q452 ,3apq bpq 四边形的较短的对角线长为 （ ）A. B. C. D.151514164.把点按向量平移到点，此时点在的延长线上，且，(2,2)A( 2,2)
10、BBOC| 2|OBBC 则点的坐标为 . C5.把函数的图象按向量平移,得到的图象,且,，5422xxya22xy ab) 1, 1 ( c,则 . 4cbb6.不共线向量，的夹角为小于的角，且，已知向量，求ab120| 1,| 2ab2cab|c的取值范围.7. 已知向量满足，且，其中., a b | | 1ab|3 |akbkab0k （1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值；ka b a b ab（2）当取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果作出几何a b |ab解释.8. 已知向量.33(cos,sin),(cos, sin),22226 4xxxxabx （1）求及
11、；www.z%zst&a b |ab（2）求函数且的最小值.&中%国教育出版网()( )(|a bf xRab 0)参考答案参考答案例 1 （略）例 2 （略）例 3 （略）来源&#:中教*网例 4 来源:*中国教育出#&版网解：上述 8 个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0；对于：应有0；对于：由数量积定义有cos，这里 是与的夹角，只有 或 时，才有；对于：若非零向量、垂直，有；对于：由可知可以都非零；对于：若与 共线，记.则（）（）（） ，（）（）（）（）若与 不共线，则()（）.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例 5 解：当时，若
12、与同向，则它们的夹角 ，cos036118；若与反向，则它们的夹角 180，cos18036（-1）18；当时，它们的夹角 90，；当与的夹角是 60时，有cos6036921评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180 ，因此，当时，有 0或 180两种可能.拓展提升拓展提升1 提示：设，则有且.( , )(0)bx yy 33xy221(0)xyy2 提示：设点的坐标为. ,C( , )x y0AC BC 2(1)(1)0xxy，甲是乙的充要条件.0AC BC 122 yx3 提示：经验证，知以为对角线时，其长度较短，.ab6abpq 4 提示：点的坐标为，设点的坐标为，则，可求得点(0,2)B(0,4)C( , )x y2OBBC 的坐标为C.(0,2)5 提示：由函数 的图象按向量平移,得到的图象，可得) 1, 3( 5422xxya22xy ；( 1, 3)a 设，由和得：，解之得.( , )bm nab4cb30 4mn mn 3,1mn 6 解：（其中为与的夹角）.2222|2 |44
