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1、第 4 讲 直线、平面垂直的判定与性质知 识 梳 理1直线与平面垂直(1)定义：若直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面即：a，b，la，lb，abPl.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行即：a，bab.2平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直即：a，a.(3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个
2、平面即：，a，b，aba.3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(2)线面角 的范围：.0，2辨 析 感 悟1对线面垂直的理解(1)直线 a，b，c；若 ab，bc，则 ac.()(2)直线 l 与平面 内无数条直线都垂直，则 l.()(3)(2013浙江卷，4C)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若mn，m，则 n.()(4)(2013广东卷，8D)设 l 为直线， 是两个不同的平面，若 ，l，则l.()2对面面垂直的理解(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(6)若平面 内的
3、一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .()感悟提升三个防范 一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如(1)；二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面” ， 如(2)；三是注意对平面与平面垂直性质的理解，如(5)考点一 直线与平面垂直的判定和性质【例 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.证明 (1)在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面
4、 ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE.(2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)，知 AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD.PA底面 ABCD，PAAB.又ABAD 且 PAADA，AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面 ABE.规律方法 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)解题时，注意线线、线面与面面关系的相
5、互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练 1】 (2013江西卷改编)如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E 为 CD 上一点，2DE1，EC3.证明：BE平面 BB1C1C.证明 过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F，则BFAD，EFABDE1，FC2.2在 RtBEF 中，BE.3在 RtCFB 中，BC.6在BEC 中，因为 BE2BC29
6、EC2，故 BEBC.由 BB1平面 ABCD，得 BEBB1，又 BB1BCB，所以 BE平面 BB1C1C.考点二 平面与平面垂直的判定与性质【例 2】 (2014深圳一模)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ABBCAA1，且 ACBC，点 D 是 AB 的中点2证明：平面 ABC1平面 B1CD.证明 ABCA1B1C1是棱柱，且 ABBCAA1BB1，四边形 BCC1B1是菱形，B1CBC1.由 AA1平面 ABC，AA1BB1，得 BB1平面 ABC.AB平面 ABC，BB1AB，又ABBC，且 ACBC，ABBC，2而 BB1BCB，BB1，BC平面 BCC
7、1B1，AB平面 BCC1B1，而 B1C平面 BCC1B1，ABB1C，而 ABBC1B，AB，BC1平面 ABC1.B1C平面 ABC1，而 B1C平面 B1CD，平面 ABC1平面 B1CD.规律方法 证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直” ，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键【训练 2】 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M 是棱 CC1的中点证明：平面 ABM平面 A1B1M.证明 由长方体的性质可知
8、 A1B1平面 BCC1B1，又 BM平面 BCC1B1，所以 A1B1BM.又 CC12，M 为 CC1的中点，所以 C1MCM1.在 RtB1C1M 中，B1M，B1C2 1MC2 12同理 BM，BC2CM22又 B1B2，所以 B1M2BM2B1B2，从而 BMB1M.又 A1B1B1MB1，所以 BM平面 A1B1M，因为 BM平面 ABM，所以平面 ABM平面 A1B1M.考点三 平行、垂直关系的综合问题【例 3】 (2013山东卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为PB，AB，BC，PD，PC 的中点(1)求证：C
9、E平面 PAD；(2)求证：平面 EFG平面 EMN.审题路线 (1)取 PA 的中点 H证明四边形 DCEH 是平行四边形CEDH根据线面平行的判定定理可证(2)证明 ABEF证明 ABFG证明 AB平面 EFG证明 MN平面 EFG得到结论证明 (1)如图，取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.因为 E 为 PB 的中点，所以 EHAB，且 EH AB.12又 ABCD，且 CD AB，12所以 EH 綉 CD.所以四边形 DCEH 是平行四边形所以 CEDH.又 DH平面 PAD，CE平面 PAD，所以 CE平面 PAD.(2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.
10、又 ABPA，且 EF，PA 共面，所以 ABEF.同理可证 ABFG.又 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNDC.又 ABDC，所以 MNAB，因此 MN平面 EFG.又 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.规律方法 线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材【训练 3】 (2013辽宁卷)如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是
11、圆 O 上的点(1)求证：BC平面 PAC；(2)设 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心，求证：QG平面 PBC.证明 (1)由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC，由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC.又 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC.(2)连接 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为AOC 的重心，得 M为 AC 中点由 Q 为 PA 中点，得 QMPC，又 O 为 AB 中点，得 OMBC.因为 QMMOM，QM平面 QMO，MO平面 QMO，BCPCC，BC平面 PBC，PC平面 PBC.所以平面
12、QMO平面 PBC.因为 QG平面 QMO，所以 QG平面 PBC.1转化思想：垂直关系的转化2在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直” 、 “面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键 创新突破 6求解立体几何中的探索性问题【典例】 (2012北京卷)如图 1，在 RtABC 中，C90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1FC
13、D，如图 2.(1)求证：DE平面 A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？说明理由突破1：弄清翻折前后的线面关系和几何量的度量值.翻折前：DE BC，DE AC翻折后：DE BC，DE A1D，DE CD. 突破2：要证A1F BE，转化为证A1F 平面BCDE. 突破3：由A1DCD，可想到取A1C的中点P，则DP A1C，进而可得A1B的中点Q为所求点.证明 (1)因为 D，E 分别为 AC，AB 的中点，所以 DEBC.又因为 DE平面 A1CB，BC平面 A1CB，所以 DE平面 A1CB.(2)由已知得 ACBC 且 DEBC
14、，所以 DEAC.所以 DEA1D，DECD，又 A1DDED，所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC，所以 DEA1F.又因为 A1FCD，所以 A1F平面 BCDE.又 BE平面 BCDE所以 A1FBE.(3)线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ.理由如下：如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQBC.又因为 DEBC，所以 DEPQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP.由(2)知，DE平面 A1DC，所以 DEA1C.又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1CDP，又 DEDPD，所以 A1C平面 DEP.从而 A1C
15、平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C平面 DEQ.反思感悟 (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误【自主体验】(2014韶关模拟)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，ADCD AB2，点 E 为 AC 中点，将ADC 沿 AC 折起，使平面12ADC平面 ABC，得到几何体 DABC
