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1、第 3 讲 直线、平面平行的判定与性质知 识 梳 理1直线与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba辨 析 感 悟1对直线与平面平行的判定与性质的理解(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.()(4)若直线 a，P，则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条()2对平面与平面平行的判定与性质的理解(5)如果
2、一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(7)(2013广东卷改编)设 l 为直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则.()感悟提升三个防范 一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如(1)、(3)二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如(5)三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如(2)、(4).考点一 线面平行的判定与性质【例 1】 (2012辽宁卷)如图，直三棱柱
3、ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点2M，N 分别为 AB 和 BC的中点(1)证明：MN平面 AACC；(2)求三棱锥 AMNC 的体积(1)证明 法一 连接 AB，AC，如图，由已知BAC90，ABAC，三棱柱 ABCABC为直三棱柱，所以 M 为 AB中点又因为 N 为 BC的中点，所以 MNAC.又 MN平面 AACC，AC平面 AACC，因此 MN平面 AACC.法二 取 AB的中点 P，连接 MP，NP，AB，如图，而 M，N 分别为 AB与BC的中点，所以 MPAA，PNAC，所以 MP平面 AACC，PN平面 AACC.又 MPNPP，因此平面 MPN平面 AACC.
4、而 MN平面 MPN，因此 MN平面 AACC.(2)解 法一 连接 BN，如图，由题意 ANBC，平面 ABC平面 BBCCBC，所以 AN平面 NBC.又 AN BC1，12故 VAMNCVNAMC VNABC VANBC .121216法二 VAMNCVANBCVMNBC VANBC .1216规律方法 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa).【训练 1】
5、 如图，在四面体 ABCD 中，F，E，H 分别是棱 AB，BD，AC 的中点，G 为 DE 的中点证明：直线 HG平面 CEF.证明 法一 如图 1，连接 BH，BH 与 CF 交于 K，连接 EK.图 1F，H 分别是 AB，AC 的中点，K 是ABC 的重心， .BKBH23又据题设条件知， ，BEBG23，EKGH.BKBHBEBGEK平面 CEF，GH平面 CEF，直线 HG平面 CEF.法二 图 2如图 2，取 CD 的中点 N，连接 GN、HN.G 为 DE 的中点，GNCE.CE平面 CEF，GN平面 CEF，GN平面 CEF.连接 FH，ENF，E，H 分别是棱 AB，BD，
6、AC 的中点，FH 綉 BC，EN 綉 BC，FH 綉 EN，1212四边形 FHNE 为平行四边形，HNEF.EF平面 CEF，HN平面 CEF，HN平面 CEF.HNGNN，平面 GHN平面 CEF.GH平面 GHN，直线 HG平面 CEF.考点二 面面平行的判定与性质【例 2】 (2013陕西卷)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心，A1O底面 ABCD，ABAA1.2(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)求三棱柱 ABDA1B1D1的体积审题路线 (1)判定四边形 BB1D1D 是平行四边形BDB1D1BD平面CD1B1同理推出
7、A1B平面 CD1B1面 A1BD面 CD1B1.(2)断定 A1O 为三棱柱 ABDA1B1D1的高用勾股定理求 A1O求 SABD求VABDA1B1D1.(1)证明 由题设知，BB1綉 DD1，四边形 BB1D1D 是平行四边形，BDB1D1.又 BD平面 CD1B1，B1D1平面 CD1B1BD平面 CD1B1.A1D1綉 B1C1綉 BC，四边形 A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又 A1B平面 CD1B1，D1C平面 CD1B1A1B平面 CD1B1.又BDA1BB，平面 A1BD平面 CD1B1.(2)解 A1O平面 ABCD，A1O 是三棱柱 ABDA1B1D1的高又AO
8、AC1，AA1，122A1O1.AA2 1OA2又SABD 1，1222VABDA1B1D1SABDA1O1.规律方法 (1)证明两个平面平行的方法有：用定义，此类题目常用反证法来完成证明；用判定定理或推论(即“线线平行面面平行”)，通过线面平行来完成证明；根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；借助“传递性”来完成(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用【训练 2】 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面 PMN平面 A1BD.证明 法一 如图，连接 B1D1，B1
9、C.P，N 分别是 D1C1，B1C1的中点，PNB1D1.又 B1D1BD，PNBD.又 PN平面 A1BD，PN平面 A1BD.同理 MN平面 A1BD.又 PNMNN，平面 PMN平面 A1BD.法二 如图，连接 AC1，AC，且 ACBDO，ABCDA1B1C1D1为正方体，ACBD，CC1平面 ABCD，CC1BD，又 ACCC1C，BD平面 AC1C，AC1BD.同理可证 AC1A1B，AC1平面 A1BD.同理可证 AC1平面 PMN，平面 PMN平面 A1BD.考点三 线面平行中的探索问题【例 3】 如图所示，四边形 ABCD 为矩形，AD平面 ABE，AEEBBC，F 为 C
10、E 上的点，且 BF平面 ACE.(1)求证：AEBE；(2)设 M 在线段 AB 上，且满足 AM2MB，试在线段 CE 上确定一点 N，使得MN平面 DAE.(1)证明 AD平面 ABE，ADBC，BC平面 ABE，又 AE平面 ABE，则AEBC.又BF平面 ACE，AEBF，又 BFBCBAE平面 BCE，又 BE平面 BCE，AEBE.(2)解 在ABE 中过 M 点作 MGAE 交 BE 于 G 点，在BEC 中过 G 点作GNBC 交 EC 于 N 点，连接 MN，则由比例关系易得 CN CE.13MGAE，MG平面 ADE，AE平面 ADE，MG平面 ADE.同理，GN平面 A
11、DE.又GNMGG，平面 MGN平面 ADE.又 MN平面 MGN，MN平面 ADE.N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点规律方法 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在【训练 3】 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是平行四边形，PA平面 ABCD，点 M、N 分别为 BC、PA 的中点在线段 PD 上是否存在一点 E，使 NM平面 ACE？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由解 在 PD 上存在一点
12、E，使得 NM平面 ACE.证明如下：取 PD 的中点 E，连接 NE，EC，AE，因为 N，E 分别为 PA，PD 的中点，所以 NE 綉 AD.12又在平行四边形 ABCD 中，CM 綉 AD.所以 NE 綉 MC，即四边形 MCEN 是平12行四边形所以 NM 綉 EC.又 EC平面 ACE，NM平面 ACE，所以 MN平面 ACE，即在 PD 上存在一点E，使得 NM平面 ACE.1平行关系的转化方向如图所示：2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行” ，再到“面面平行” ；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方
13、向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化” 答题模板 8如何作答平行关系证明题【典例】 (12 分)(2012山东卷)如图 1，图 1几何体 EABCD 是四棱锥，ABD 为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M 为线段 AE 的中点，求证：DM平面 BEC.规范解答 (1)如图 2，取 BD 的中点 O，连接 CO，EO.图 2由于 CBCD，所以 COBD，(1 分)又 ECBD，ECCOC，CO，EC平面 EOC，所以 BD平面 EOC，因此 BDEO，(3 分)又 O 为 BD 的中点，所以 BEDE.(5 分)(2)法一 如图 3，取 AB
14、 的中点 N，连接 DM，DN，MN，图 3因为 M 是 AE 的中点，所以 MNBE.(6 分)又 MN平面 BEC，BE平面 BEC，MN平面 BEC.(7 分)又因为ABD 为正三角形，所以BDN30，又 CBCD，BCD120，因此CBD30，所以 DNBC.(9 分)又 DN平面 BEC，BC平面 BEC，所以 DN平面 BEC.又 MNDNN，故平面 DMN平面 BEC，(11 分)又 DM平面 DMN，所以 DM平面 BEC.(12 分)法二 如图 4，延长 AD，BC 交于点 F，连接 EF.图 4因为 CBCD，BCD120，所以CBD30.(7 分)因为ABD 为正三角形，所以BAD60，ABC90，因此AFB30，所以 AB AF.(9 分)12又 ABAD，所以 D 为线段 AF 的中点(10 分)连接 DM，由点 M 是线段 AE 的中点，因此 DMEF.(11 分)又 DM平面 BEC，EF平面 BEC，所以 DM平面 BEC.(12 分)反思感悟 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求，每步推理要有理有据，不可跨度太大，以免漏掉得分点本题易忽视 DM平面 EBC，造成步骤不完整而失分答题模板 证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所
