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1、4 讲 数列求和知 识 梳 理1公式法(1)等差数列的前 n 项和公式：Snna1d.na1an2nn12(2)等比数列的前 n 项和公式：SnError!Error!2数列求和的几种常用方法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的(4)倒序相加法如果一个数列
2、an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的(5)并项求和法在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.3常见的拆项公式(1) ；1nn11n1n1(2)；12n12n112(12n112n1)(3).1n n1n1n辨 析 感 悟数列求和的常用方法(1)当 n2 时，.()1n211
3、n11n1(2)求 Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 8944.5.()(4)(2014南京调研改编)若 Sn1234(1)n1n，则 S5025.()感悟提升两个防范 一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中 a 需要分a0，a1，a1 且 a0 三种情况求和，只有当 a1 且 a0 时可用错位相减法求和.考点一 分组转化法求和【例 1】 已
4、知数列an的通项公式是 an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn.解 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当 n 为偶数时，Sn2 ln 33n ln 31；13n13n2n2当 n 为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 313n13(n12n)3nln 3ln 21.n12综上所述，SnError!Error!规律方法 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数
5、和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式【训练 1】 (2014湖州质检)在等比数列an中，已知 a13，公比 q1，等差数列bn满足 b1a1，b4a2，b13a3.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记 cn(1)nbnan，求数列cn的前 n 项和 Sn.解 (1)设等比数列an的公比为 q，等差数列bn的公差为 d.由已知，得 a23q，a33q2，b13，b433d，b13312d，故Error!Error!Error!Error!q3 或 1(舍去)所以 d2，所以 an3n，bn2n1.(2)由题意，得 cn(1)nbnan(1)n(2n1)3n，Snc1c2cn(35)(7
6、9)(1)n1(2n1)(1)n(2n1)3323n.当 n 为偶数时，Snn n ；3n12323n1232当 n 为奇数时，Sn(n1)(2n1) n .3n12323n1272所以 SnError!Error!考点二 裂项相消法求和【例 2】 (2013新课标全国卷)已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前 n 项和1a2n1a2n1解 (1)设an的公差为 d，则 Snna1d.nn12由已知可得Error!Error!解得 a11，d1.故an的通项公式为 an2n.(2)由(1)知1a2n1a2n1132n12n，12(12n
7、312n1)从而数列的前 n 项和为1a2n1a2n1.12(1111111312n312n1)n12n规律方法 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的【训练 2】 (2013徐州一模)已知数列an的前 n 项和是 Sn，且Sn an1(nN*)12(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog (1Sn1)(nN*)，令 Tn，求 Tn.131b1b21b2b31bnbn1解 (1)当 n1 时，a1S1，由 S1 a11，得 a1 ，1223当 n2 时，Sn1 an，Sn
8、11 an1，1212则 SnSn1 (an1an)，即 an (an1an)，1212所以 an an1(n2)13故数列an是以 为首项， 为公比的等比数列2313故 an n12n(nN*)23(13)(13)(2)因为 1Sn ann.12(13)所以 bnlog (1Sn1)logn1n1，1313(13)因为，1bnbn11n1n21n11n2所以 Tn1b1b21b2b31bnbn1(1213) (1314)(1n11n2) .121n2n2n2考点三 错位相减法求和【例 3】 (2013湖南卷)设 Sn为数列an的前 n 项和，已知a10，2ana1S1Sn，nN*.(1)求
9、a1，a2，并求an的通项公式；(2)求数列nan的前 n 项和审题路线 (1)令 n1 求 a1令 n2 求 a2利用 anSnSn1(n2)推导 an与an1的关系式由 an与 an1的递推式求 an.(2)由(1)知数列nan错位相减法求和得出结论解 (1)令 n1，得 2a1a1a ，即 a1a .2 12 1又因为 a10，所以 a11，从而 Sn2an1，令 n2 得 2a21S21a2.解得 a22.当 n2 时，Sn12an11，两式相减得 2an2an1an，即 an2an1.于是数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列因此 an2n1.所以数列an的通项公式为 an2n
10、1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前 n 项和为 Bn，于是Bn122322n2n1， 2Bn12222323n2n. 得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而 Bn1(n1)2n.规律方法 (1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.【训练 3】 (2013嘉兴二模)在数列an中，a12，an13an2.(1)记 bnan1，求证：数列bn为等
11、比数列；(2)求数列nan的前 n 项和 Sn.(1)证明 由 an13an2，可得 an113(an1)因为 bnan1，所以 bn13bn，又 b1a113，所以数列bn是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列(2)解 由(1)知 an13n，an3n1，所以 nann3nn，所以 Sn(3232n3n)(12n)，其中 12n，n2n2记 Tn3232n3n，3Tn32233(n1)3nn3n1，两式相减得2Tn3323nn3n1n3n1，33n12即 Tn3n1 ，2n1434所以 Sn.2n13n142n22n34数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的
12、数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和 答题模板 7求数列|an|的前 n 项和问题【典例】 (14 分)(2013浙江卷)在公差为 d 的等差数列an中，已知 a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求 d，an；(2)若 d0，求|a1|a2|an|.规范解答 (1)由题意得 5a3a1(2a22)2，(2 分)即 d23d40.故 d1 或 4.(4 分)所以 ann11，或 an4n6，.(6 分)(n N * )(n N * )(2)设数列an的前 n 项和为 Sn.因为 d0，由(1)得 d
13、1，ann11.Sn n2n，(8 分)12212当 n11 时，|a1|a2|a3|an|Sn n2n.(10 分)12212当 n12 时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11 n2n110.(12 分)12212综上所述，|a1|a2|a3|an|Error!Error!反思感悟 (1)本题求解用了分类讨论思想，求数列|an|的和时，因为 an有正有负，所以应分两类分别求和(2)常出现的错误：当 n11 时，求|an|的和，有的学生认为就是S11110；当 n12 时，求|an|的和，有的学生不能转化为2(a1a2a11)(a1a2an)，导致出错答题模板 求数列|an|的前n项和一般步骤如下： 第一步：求数列an的前n项和； 第二步：令an 0或an 0确定分类标准； 第三步：分两类分别求前n项和； 第四步：用分段函数形式下结论； 第五步：反思回顾：查看|an|的前n项和与an的前n项和的关系，以防求错结果.【自主体验】已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若 a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前 n 项和解 (1)设等差数列an的公差为 d，则 a2a1d，a3a12d，由题意，得Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!所以由等差数列的通
