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1、第 1 讲 数列的概念与简单表示法知 识 梳 理1数列的通项公式(1)定义：如果数列an的第 n 项 an与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式，记为 anf(n)(nN*)数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示(2)数列的递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法2数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限 按项数分类 无穷数列项数无限递增数列an1an递减数列an
2、1an按项与项间的大小关系分类常数列an1an其中nN有界数列存在正数 M，使|an|M 按其他标准分类摆动数列an的符号正负相间，如1，1,1，1，3.数列前 n 项和 Sn与通项 an的基本关系已知 Sn，则 anError!Error!辨 析 感 悟1对数列概念的认识(1)数列 1,2,3,4,5,6 与数列 6,5,4,3,2,1 表示同一数列()(2)1,1,1,1，不能构成一个数列()2对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列 1,0,1,0,1,0，的通项公式，只能是an.()11n12(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)(2013开封模拟改编)已知
3、 Sn3n1，则 an23n1.()感悟提升1一个区别 “数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)2三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为anError!三是已知 Sn求 an时，一定要验证 n1 的特殊情形，如(5)考点一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2) ， ， ， ， ，；234156358
4、631099(3) ，2，8， ，；1292252(4)5,55,555,5 555，.解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积知所求数列的一个通项公式为 an.2n2n12n1(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即 ， ， ，从而可得数列的一个通项公式为 an.124292162252n22(4)将原数列改写为
5、 9， 99， 999，易知数列 9,99,999，的通项为59595910n1，故所求的数列的一个通项公式为 an (10n1)59规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想【训练 1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) ， ， ， ，；121458131629326164(2) ，1， ， ，.32710917解 (1)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少
6、3.因此把第 1 项变为，原数列可化为232，因此可得数列的一个通项公式为21321223222332324324an(1)n.2n32n(2)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可32557，10917得分子的通项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21，因此可得数列的一个通项公式为 an.2n1n21考点二 由 an与 Sn的关系求通项 an【例 2】 (2012广东卷)设数列an的前 n 项和为 Sn，数列Sn的前 n 项和为Tn，满足 Tn2Snn2，nN*.(1)求
7、 a1的值；(2)求数列an的通项公式解 (1)令 n1 时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2 时，Tn12Sn1(n1)2，则 SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当 n1 时，a1S11 也满足上式，所以 Sn2an2n1(n1)，当 n2 时，Sn12an12(n1)1，两式相减得 an2an2an12，所以 an2an12(n2)，所以 an22(an12)，因为 a1230，所以数列an2是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列所以 an232n1，an32n12，当 n1 时也成立，所以 an32n12.规律
8、方法 给出 Sn与 an的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an.【训练 2】 (1)已知数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则其通项公式为_(2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn2an1，则 Sn_.解析 (1)当 n1 时，a1S13122112；当 n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5.显然当 n1 时，不满足上式，故数列的通项公式为 anError!Error!(2)Sn2an1，当 n2 时，Sn12
9、an，anSnSn12an12an(n2)，即 (n2)，an1an32又 a2 ，an n2(n2)1212(32)当 n1 时，a11 1 ，12(32)13anError!Error!Sn2an12 n1n1.12(32)(32)答案 (1)anError!Error! (2)n1(32)考点三 由递推公式求数列的通项公式【例 3】 在数列an中，(1)若 a12，an1ann1，则通项 an_；(2)若 a11，an13an2，则通项 an_.审题路线 (1)变形为 an1ann1用累加法，即 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)得出 an.(2)变形为 an113(an1)
10、再变形为 用累乘法或迭代法可求an11an113an.解析 (1)由题意得，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.n12n2nn12又 a121，符合上式，1 112因此 an1.nn12(2)an13an2，即 an113(an1)，即3，an11an1法一 3，3，3，3.将这些等式两边分a21a11a31a21a41a31an11an1别相乘得3n.an11a11因为 a11，所以3n，即 an123n1(n1)，所以an1111an23n11(n2)，又 a11 也满足上式，故 an23n11.法二 由3，即 an113(an1)，an11an1
11、当 n2 时，an13(an11)，an13(an11)32(an21)33(an31)3n1(a11)23n1，an23n11；当 n1 时，a1123111 也满足an23n11.答案 (1)1 (2)23n11nn12规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项【训练 3】 设an是首项为 1 的正项数列，且(n1)ana an1an0(n1,2,3，)，则它的通
12、项公式 an_.2n12 n解析 (n1)aan1anna 0，2n12 n(an1an)(n1)an1nan0，又 an1an0，(n1)an1nan0，即， ，an .an1annn1a2a1a3a2a4a3a5a4anan112233445n1n1n答案 1n1求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2由 Sn求 an时，anError!Error!注意验证 a1是否包含在后面 an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含 an与 Sn的关系的数列
13、题均可考虑上述公式3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an1panq”这种形式通常转化为 an1p(an)，由待定系数法求出 ，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式思想方法 5用函数的思想解决数列问题【典例】 数列an的通项公式是 ann2kn4.(1)若 k5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)对于 nN*，都有 an1an.求实数 k 的取值范围解 (1)由 n25n40，解得 1n4.nN*，n2,3.数列中有两项是负数，即为 a2，a3.
14、ann25n42 ，由二次函数性质，得当 n2 或 n3 时，an有(n52)94最小值，其最小值为 a2a32.(2)由 an1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 ann2kn4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 nN*，所以 ，即得 k3.k232反思感悟 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到解决(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3)易错分析：本题易错答案为 k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数【自主体验】1设 an3n215n18，则数列an中的最大项的值是_解析 an32 ，由二次函数性质，得当 n2 或 3 时，an最大，最(n52)34大为 0.答案 02已知an
